Enunciado

A seção B C D E F da treliça piramidal é simétrica em relação ao plano vertical x z como mostrado. Os cabos A E , A F e A B suportam uma carga de 5 kN. Determine a força no elemento B E .

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós. Primeiro colocamos a força na forma de módulo vezes vetor unitário, e depois fazemos a equação de equilíbrio para o nó, nas três direções. Para o nó A só temos 3 incógnitas, então conseguimos resolver as equações, encontrando A E e A F . Depois vamos para o nó B e determinamos B E .

Passo 2

Vamos fazer as equações para o nó A . Representamos A E , A F e A B em vetores unitários. Primeiro A B :

r → A B = 360 i ^ + 360 + 440 k ^ = 360 i ^ + 800 k ^

r → A B = 360 2 + 800 2 = 877,3

⇒ T → A B = T A B 360 i ^ + 800 k ^ 877,3 = T A B ( 0,41 i ^ + 0,912 k ^ )

Agora para A E :

r → A E = - 360 i ^ - 300 j ^ + 440 k ^

r → A E = 360 2 + 300 2 + 440 2 = 642,8

⇒ T → A E = T A E - 360 i ^ - 300 j ^ + 440 k ^ 642,8 = T A E ( - 0,56 i ^ - 0,467 j ^ + 0,685 k ^ )

Pela simetria, A F é a mesma coisa que A E , mas com a componente y ao contrário:

T → A F = T A F ( - 0,56 i ^ + 0,467 j ^ + 0,685 k ^ )

Passo 3

Agora que temos as forças, somamos todas e igualamos a zero. Não podemos esquecer da carga igual a - 5 k ^   N .

T → A B + T → A E + T → A F - 5 k ^ = 0

⇒ T A B 0,41 i ^ + 0,912 k ^ + T A E - 0,56 i ^ - 0,467 j ^ + 0,685 k ^

+ T A F - 0,56 i ^ + 0,467 j ^ + 0,685 k ^ - 5 k ^ = 0

Agrupando os termos em cada direção:

0,41 T A B - 0,56 T A E - 0,56 T A F i ^ + - 0,467 T A E + 0,467 T A F j ^

+ 0,912 T A B + 0,685 T A E + 0,685 T A F - 5 k ^ = 0

Pela simetria, sabemos que T A E = T A F . Então:

0,41 T A B - 1,12 T A E i ^ + 0,912 T A B + 1,37 T A E - 5 k ^ = 0

Da direção x , tiramos:

0,41 T A B = 1,12 T A E

⇒ T A E = 0,41 T A B 1,12 = 0,366 T A B

Da direção z :

0,912 T A B + 1,37 T A E - 5 = 0

Substituindo T A E :

0,912 T A B + 1,37 0,366 T A B - 5 = 0

⇒ 1,41 T A B = 5 ⇒ T A B = 5 1,41

⇒ T A B = 3,55   k N

Não precisamos dos valores de T A E e de T A B , pois não aparecem para o nó B .

Passo 4

Vamos agora às equações para o nó B . Primeiro vamos fazer algumas considerações que vão facilitar muito nas contas. Pela simetria, vamos ter:

T B C = T B D

T B E = T B F

Pela configuração geométrica simétrica das barras, sabemos também que os vetores unitários de B C , B D , B E e B F são iguais, só mudando os sinais das direções. Vamos calcular então o vetor unitário só para uma delas. Escolhemos B C :

r → B C = - 720 i ^ + 300 j ^ + 360 k ^

r → B C = 720 2 + 300 2 + 360 2 = 859,1

T → B C = T B C - 720 i ^ + 300 j ^ + 360 k ^ 859,1 = T B C ( - 0,838 i ^ + 0,349 j ^ + 0,419 k ^ )

Com isso os outros vetores unitáros ficam definidos, trocando os sinais:

T → B D = T B D ( - 0,838 i ^ - 0,349 j ^ + 0,419 k ^ )

T → B E = T B E ( - 0,838 i ^ - 0,349 j ^ - 0,419 k ^ )

T → B F = T B F ( - 0,838 i ^ + 0,349 j ^ - 0,419 k ^ )

Além disso, vamos colocar T → B D em função de T B C e T → B F em função de T B E :

T → B D = T B C ( - 0,838 i ^ - 0,349 j ^ + 0,419 k ^ )

T → B F = T B E ( - 0,838 i ^ + 0,349 j ^ - 0,419 k ^ )

Passo 5

Agora só temos 2 incógnitas, T B C e T B E . Vamos somar todas as forças de B e igualar a zero:

T → A B + T → B C + T → B D + T → B E + T → B F = 0

⇒ T A B 0,41 i ^ + 0,912 k ^ + T B C - 0,838 i ^ + 0,349 j ^ + 0,419 k ^

+ T B C - 0,838 i ^ - 0,349 j ^ + 0,419 k ^ + T B E - 0,838 i ^ - 0,349 j ^ - 0,419 k ^

+ T B E - 0,838 i ^ + 0,349 j ^ - 0,419 k ^ = 0

⇒ 0,41 T A B - 1,68 T B C - 1,68 T B E i ^ + 0,912 T A B + 0,838 T B C - 0,838 T B C k ^ = 0

Substituindo o módulo de T A B igual a 3,55 kN:

1,46 - 1,68 T B C - 1,68 T B E i ^ + 3,24 + 0,838 T B C - 0,838 T B E k ^ = 0

Primeiro para a direção x , temos:

1,46 - 1,68 T B C - 1,68 T B E = 0

⇒ 1,68 T B C = 1,46 - 1,68 T B E

Dividindo tudo por 1,68:

⇒ T B C = 0,869 - T B E

Agora para a direção z :

3,24 + 0,838 T B C - 0,838 T B E = 0

Dividindo tudo por 0,838 e substituindo T B C :

3,87 + T B C - T B E = 0

⇒ 3,87 + 0,869 - T B E - T B E = 0

⇒ 2 T B E = 4,74

⇒ T B E = 2,37   k N

Resposta

T B E = 2,37   k N

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