Enunciado

Substitua o carregamento do sistema por uma força resultante equivalente e especifique onde a linha de ação da resultante intercepta o membro medida a partir de A .

Passo 1

Oi, tá bem? Torço para que sim!

A questão pede para substituirmos o sistema de forças por uma única força resultante e especificar em que ponto essa força age. Como se trata se um sistema de forças coplanares (contidas num mesmo plano), é possível fazer essa redução sem precisar adicionar um binário resultante também.

Segue esse passo a passo que vamos seguir, que dá bom!

O primeiro passo é calcular a força resultante, essa vai ser nossa força equivalente para todo o sistema de forças.

Vamos usar a forma vetorial, porque por ela é mais tranquilo de fazer somatório de vetores. Repara que temos a força F 1 = 20   k N . Como ela está para baixo, ela só terá uma componente negativa em y . Aí o vetor dela é

F 1 → = - 20 j ^

Para F 2 = 15   k N , temos que seguir a inclinação dada pelo triângulo retângulo. Como o lado que vale 4 está paralelo a x , a componente horizontal da força vale 15 4 5 . A componente vertical vai valer 15 3 5 , porque o lado que vale 3 é paralelo a y . Ambas estão nos sentidos positivos dos eixos.

Colocando isso num vetor

F 2 → =   15 4 5 i ^ + 15 3 5 j ^   k N

Somando as duas forças, componente a componente

F R → = - 20 j ^   k N + 15   4 5 i ^ + 3 5 j ^   k N

Assim,

F R → = 12 i ^ + - 20 + 9 j ^   k N = 12 i ^ - 11 j ^   k N

Passo 2

O segundo passo é calcular o momento de binário resultante. Por que? Porque a gente precisa encontrar a posição de F R → que vai causar um momento equivalente a ele. Então precisamos desse momento resultante.

Vale lembrar que o momento de uma força com relação ao ponto A é dado por

M → = r → × F →

Onde r → é o vetor que sai do ponto em relação ao qual queremos o momento e vai para o ponto de aplicação da força.

Podemos escolher calcular o momento em relação a A , a origem. Como A = 0,0 , as componentes dos vetores r → vão ser numericamente iguais às coordenadas dos pontos de aplicação da força.

r 1 → = 2,0 = 2   i ^

r 2 → = 6,2 = 6 i ^ + 2 j ^

Assim, o momento resultante com relação ao ponto A será a soma dos momentos de cada força

M R → A = r 1 → × F 1 → + r 2 → × F 2 →

M R → A = 2 i ^   m × - 20 j ^   k N + 6 i ^ + 2 j ^   m ×   15 4 5 i ^ + 15 3 5 j ^ k N

Assim,

M R → A = - 40 k ^ + 54 k ^ - 24 k ^   k N ⋅ m

Portanto,

M R → A = - 10 k ^   k N ⋅ m

Passo 3

Para finalizar, precisamos achar o ponto que a força resultante deve ser aplicada para compensar esse momento resultante. Esse vai ser o ponto onde a linha de ação dessa resultante intercepta o membro a partir de A .

Já achamos a força resultante do sistema e momento resultante. Agora queremos a posição dessa força para que ela gere o momento resultante, o que podemos equacionar assim:

r → R × F R → = M R → A

r R → × 12 i ^ - 11 j ^   k N = - 10 k ^   k N ⋅ m

Podemos supor que a força vai estar localizada na parte horizontal do membro distante d de A . Para esse ponto de aplicação, temos x = d e y = 0 . O vetor que sai de A (a origem) e vai até esse ponto de aplicação de F R vai ser

r R → = d , 0 = d i ^

Assim,

r R → × F R → = M R → A

d i ^ × 12 i ^ - 11 j ^   k N = - 10 k ^   k N ⋅ m

- 1 1 d     k ^   k N ⋅ m = - 10 k ^   k N ⋅ m

11   d = 10

d = 0,91   m

Assim, a força resultante deve ser aplicada a uma distância d = 0,91   m do ponto A .

Resposta

d = 0,91   m       e         F R → = 12 i ^ - 11 j ^   k N

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