Energia de Deformação

Teoria Completa

Introdução

Se lembra como, lá na física, uma mola deformada tinha uma certa energia potencial elástica?

Isso acontecia porque, para deformar a mola, você tinha que realizar um trabalho nela, e esse trabalho era absorvido na forma da energia elástica.

τ = F . Δ x

τ = k . Δ x 2 2

Então...

Da mesma forma, qualquer peça que estiver deformada elasticamente (de acordo com a Lei de Hooke) vai ter uma certa Energia de Deformação U dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Onde σ é a tensão na peça, ε a deformação e V é o volume inicial da peça. Observe que somente podemos utilizar esse conceito quando a deformação é elástica, ou seja, não causa deformação permanente na peça. Vamos fazer um exemplo prático desse cálculo.

Calcule a energia de deformação quando uma peça cilíndrica de diâmetro da base d = 20   m m e altura h = 100   m m sofre um alongamento de 1   m m . Sabe-se que a força normal aplicada à essa peça vale 500   k N .

Resolução: Para resolver essa questão basta que achemos a tensão normal, a deformação e o volume da peça e substituir na fórmula.

A tensão é dada pela força sobre a área:

σ = F A

σ = F π d 2 / 4

σ = 500.000 π 20.10 - 3 2 4 = 1591,55   M P a

A deformação é um adimensional que é dado pelo alongamento sobre o tamanho inicial:

ε = Δ L L 0

ε = 1 100 = 0,01

E o volume inicial da peça é dado por:

V = π d 2 4 × h

V = π 20.10 - 3 2 4 × 100.10 - 3

V = 3,14.10 - 5   m 3

Agora é só substituir na equação:

U = 1 2 σ ε V

U = 1 2 ( 1591,55 . 10 6 ) ( 0,01 ) ( 3,14.10 - 3 )

U = 25   k J

Densidade da Energia de Deformação

Talvez, ao invés da energia de deformação U , pode ser pedido para você calcular a densidade de energia de deformação u em um material, que vai ser dada por:

u = 1 2 σ ε

Dessa forma, temos que a energia de deformação U de uma peça vai ser a densidade u multiplicada pelo volume V da peça.

U = u . V

Então para o caso calculado anteriormente nós teríamos uma densidade da energia de deformação de:

u = 1 2 ( 1591,55.10 6 ) ( 0,01 )

u = 7,96.10 6   J / m 3

Módulo de Resiliência

O que é resiliência para você? Essa palavra está muito em foco hoje em dia não é mesmo? Sempre escutamos falar da resiliência das pessoas. Resiliência é a capacidade que alguém tem de apanhar e apanhar e permanecer na luta, inalterado. O Rocky é um cara resiliente.

Para os materiais nós vamos ter mais ou menos a mesma coisa. Um material resiliente é aquele que se deforma muito e ainda volta ao normal. Isso acontece por exemplo com o arco do arqueiros, esse objeto tem que estar suscetível apenas à deformação elástica e não à plástica. Por exemplo o bambu, material dos arcos japoneses. Olha esse tiozinho testando a resiliência do bambu.

Legal né? Mas como vamos calcular de fato a resiliência? As fórmulas que vimos para U e u supõem que os materiais se deformaram de acordo com a Lei de Hooke.

Mas acontece que muitos materiais deixam de seguir a Lei de Hooke a partir de um certo nível de tensão, chamado de limite de proporcionalidade.

Daí que se a gente fosse calcular o valor máximo de u que um material pode ter sem deixar de seguir a Lei de Hooke, esse valor seria o módulo de resiliência u r do material:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Perceba que trata-se da energia acumulada pelo material exatamente no ponto limite de proporcionalidade!

Onde σ L P e ε L P são os valores da tensão e da deformação no limite de proporcionalidade do material.

OBS: Limite de proporcionalidade não significa que saímos do regime elástico para o plástico, significa apenas que o nosso gráfico não é mais uma reta fica ligado nisso!

Além desse cálculo utilizando o limite de proporcionalidade, podemos calcular o módulo de resiliência u r de um material usando o Diagrama Tensão-Deformação desse material.

Nesse caso, u r vai ser igual a área triangular que está abaixo da parte do diagrama que segue a Lei de Hooke:

Olha como essa área é um triângulo e é igualzinha à nossa equação:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Módulo de Tenacidade

Já o módulo de tenacidade u t é a densidade de energia de deformação u máxima que um material pode adquirir antes dele se romper.

Ele é igual a área debaixo de todo o Diagrama Tensão-Deformação do material e é calculado somando a área de trapézios, retângulos e triângulos que aproximem a curva do diagrama, ou fazendo a integral.

Mas pessoal, muito provavelmente vocês não vão realizar esses cálculos. O que será cobrado de vocês será comparar dois diagramas e dizer qual material é mais tenaz, por exemplo:

E aí, qual dos dois parece ser mais tenaz?

A área do aço dúctil parece ser bem maior não é mesmo? Então ele é mais tenaz!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma coluna de concreto com uma seção transversal de 100   m m   ×   400   m m está submetida a uma compressão de 900   k N .

Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação u no concreto.

Dados: E c o n c r e t o = 40   G P a

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Passo 1

A coluna de concreto possui uma área de seção transversal A = ( 100   m m ) ( 400   m m ) e um módulo e elasticidade E = 40   G P a .

Além disso, como a única força na coluna é a compressão de 900   k N , vamos ter na coluna uma força interna normal N = - 900   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a densidade de energia de deformação u na coluna.

Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que u vai ser dado pela fórmula:

u = 1 2 σ ε

Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke σ = E ε para substituir a deformação ε e a fórmula da tensão normal média σ = N / A para substituir a tensão σ .

Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação u para um material que está seguindo a Lei de Hooke:

u = 1 2 σ ε

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que ε = σ / E .

Fazendo essa substituição, encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:

u = 1 2 N A 2 E

E pronto! Temos uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 3

Substituindo os valores de N , A e E na expressão anterior, temos:

u = 1 2 ( - 900   k N ) ( 100   m m ) ( 400   m m ) 2 ( 40   G P a )

A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Dessa forma, vamos ter G P a 2 como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos G P a como unidade na parte inferior.

Sendo assim, o resultado da conta vai sair em G P a !

Calculando tudo, encontramos que:

u = 6,33 * 10 - 6   G P a

Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em k P a :

u = 6,33   k P a

Passo 4

Poderiamos terminar o exercício por aqui.

Mas ainda temos uma coisa para fazer: como u é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u é k P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em k P a , em k J / m 3 :

u = 6,33 k J m 3

E assim temos a nossa resposta:

Resposta

u = 6,33   k P a = 6,33 k J m 3

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.2.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.

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Passo 1

A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico: