Energia de Deformação

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Teoria

Introdução

Se lembra como, lá na física, uma mola deformada tinha uma certa energia potencial elástica?

Isso acontecia porque, para deformar a mola, você tinha que realizar um trabalho nela, e esse trabalho era absorvido na forma da energia elástica.

τ = F . Δ x

τ = k . Δ x 2 2

Então...

Da mesma forma, qualquer peça que estiver deformada elasticamente (de acordo com a Lei de Hooke) vai ter uma certa Energia de Deformação U dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Onde σ é a tensão na peça, ε a deformação e V é o volume inicial da peça. Observe que somente podemos utilizar esse conceito quando a deformação é elástica, ou seja, não causa deformação permanente na peça. Vamos fazer um exemplo prático desse cálculo.

Calcule a energia de deformação quando uma peça cilíndrica de diâmetro da base d = 20   m m e altura h = 100   m m sofre um alongamento de 1   m m . Sabe-se que a força normal aplicada à essa peça vale 500   k N .

Resolução: Para resolver essa questão basta que achemos a tensão normal, a deformação e o volume da peça e substituir na fórmula.

A tensão é dada pela força sobre a área:

σ = F A

σ = F π d 2 / 4

σ = 500.000 π 20.10 - 3 2 4 = 1591,55   M P a

A deformação é um adimensional que é dado pelo alongamento sobre o tamanho inicial:

ε = Δ L L 0

ε = 1 100 = 0,01

E o volume inicial da peça é dado por:

V = π d 2 4 × h

V = π 20.10 - 3 2 4 × 100.10 - 3

V = 3,14.10 - 5   m 3

Agora é só substituir na equação:

U = 1 2 σ ε V

U = 1 2 ( 1591,55 . 10 6 ) ( 0,01 ) ( 3,14.10 - 3 )

U = 25   k J

Densidade da Energia de Deformação

Talvez, ao invés da energia de deformação U , pode ser pedido para você calcular a densidade de energia de deformação u em um material, que vai ser dada por:

u = 1 2 σ ε

Dessa forma, temos que a energia de deformação U de uma peça vai ser a densidade u multiplicada pelo volume V da peça.

U = u . V

Então para o caso calculado anteriormente nós teríamos uma densidade da energia de deformação de:

u = 1 2 ( 1591,55.10 6 ) ( 0,01 )

u = 7,96.10 6   J / m 3

Módulo de Resiliência

O que é resiliência para você? Essa palavra está muito em foco hoje em dia não é mesmo? Sempre escutamos falar da resiliência das pessoas. Resiliência é a capacidade que alguém tem de apanhar e apanhar e permanecer na luta, inalterado. O Rocky é um cara resiliente.

Para os materiais nós vamos ter mais ou menos a mesma coisa. Um material resiliente é aquele que se deforma muito e ainda volta ao normal. Isso acontece por exemplo com o arco do arqueiros, esse objeto tem que estar suscetível apenas à deformação elástica e não à plástica. Por exemplo o bambu, material dos arcos japoneses. Olha esse tiozinho testando a resiliência do bambu.

Legal né? Mas como vamos calcular de fato a resiliência? As fórmulas que vimos para U e u supõem que os materiais se deformaram de acordo com a Lei de Hooke.

Mas acontece que muitos materiais deixam de seguir a Lei de Hooke a partir de um certo nível de tensão, chamado de limite de proporcionalidade.

Daí que se a gente fosse calcular o valor máximo de u que um material pode ter sem deixar de seguir a Lei de Hooke, esse valor seria o módulo de resiliência u r do material:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Perceba que trata-se da energia acumulada pelo material exatamente no ponto limite de proporcionalidade!

Onde σ L P e ε L P são os valores da tensão e da deformação no limite de proporcionalidade do material.

OBS: Limite de proporcionalidade não significa que saímos do regime elástico para o plástico, significa apenas que o nosso gráfico não é mais uma reta fica ligado nisso!

Além desse cálculo utilizando o limite de proporcionalidade, podemos calcular o módulo de resiliência u r de um material usando o Diagrama Tensão-Deformação desse material.

Nesse caso, u r vai ser igual a área triangular que está abaixo da parte do diagrama que segue a Lei de Hooke:

Olha como essa área é um triângulo e é igualzinha à nossa equação:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Módulo de Tenacidade

Já o módulo de tenacidade u t é a densidade de energia de deformação u máxima que um material pode adquirir antes dele se romper.

Ele é igual a área debaixo de todo o Diagrama Tensão-Deformação do material e é calculado somando a área de trapézios, retângulos e triângulos que aproximem a curva do diagrama, ou fazendo a integral.

Mas pessoal, muito provavelmente vocês não vão realizar esses cálculos. O que será cobrado de vocês será comparar dois diagramas e dizer qual material é mais tenaz, por exemplo:

E aí, qual dos dois parece ser mais tenaz?

A área do aço dúctil parece ser bem maior não é mesmo? Então ele é mais tenaz!

Densidade da Energia de Deformação

Módulo de Resiliência

Módulo de Tenacidade

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma coluna de concreto com uma seção transversal de 100   m m   ×   400   m m está submetida a uma compressão de 900   k N .

Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação u no concreto.

Dados: E c o n c r e t o = 40   G P a

Passo 1

A coluna de concreto possui uma área de seção transversal A = ( 100   m m ) ( 400   m m ) e um módulo e elasticidade E = 40   G P a .

Além disso, como a única força na coluna é a compressão de 900   k N , vamos ter na coluna uma força interna normal N = - 900   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a densidade de energia de deformação u na coluna.

Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que u vai ser dado pela fórmula:

u = 1 2 σ ε

Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke σ = E ε para substituir a deformação ε e a fórmula da tensão normal média σ = N / A para substituir a tensão σ .

Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação u para um material que está seguindo a Lei de Hooke:

u = 1 2 σ ε

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que ε = σ / E .

Fazendo essa substituição, encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:

u = 1 2 N A 2 E

E pronto! Temos uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 3

Substituindo os valores de N , A e E na expressão anterior, temos:

u = 1 2 ( - 900   k N ) ( 100   m m ) ( 400   m m ) 2 ( 40   G P a )

A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Dessa forma, vamos ter G P a 2 como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos G P a como unidade na parte inferior.

Sendo assim, o resultado da conta vai sair em G P a !

Calculando tudo, encontramos que:

u = 6,33 * 10 - 6   G P a

Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em k P a :

u = 6,33   k P a

Passo 4

Poderiamos terminar o exercício por aqui.

Mas ainda temos uma coisa para fazer: como u é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u é k P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em k P a , em k J / m 3 :

u = 6,33 k J m 3

E assim temos a nossa resposta:

Resposta

u = 6,33   k P a = 6,33 k J m 3

Exercício Resolvido #2

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.

Passo 1

A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico:

Em seguida, o exercício quer que a gente determine o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u r desse material.

Para tanto, vamos usar a informação de que a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.

O que isso significa é que o primeiro ponto é o limite de proporcionalidade L P do material (o último ponto do diagrama que segue a Lei de Hooke), de tal forma que:

σ L P = σ 1 = 232,4   M P a

&

ε L P = ε 1 = 0,0006   m m / m m

Agora, lembra aí!

Para calcular o módulo de elasticidade E de um material, podemos usar os valores de σ e ε de qualquer ponto do diagrama tensão-deformação que siga a Lei de Hooke σ = E ε .

Usando σ L P e ε L P , vamos ter que:

σ L P = E ε L P

O que significa que:

E = σ L P ε L P

E para calcular o módulo de resiliência u r do nosso material, podemos nos lembrar que ele é igual à área triangular debaixo da região linear do diagrama tensão-deformação:

Ou podemos nos lembrar diretamente da fórmula para u r :

u r = 1 2 σ L P ε L P

Passo 2

Agora que já desenhamos o Diagrama Tensão-Deformação do material e entendemos como encontrar os valores de E e u r para o material, vamos calcular esses valores!

Para o módulo de elasticidade E , temos que:

E = σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos que:

E = ( 232,4   M P a ) ( 0,0006   m m / m m )

O que dá:

E = 387333   M P a

Como esse número é um pouco grande, o reescrevemos em G P a :

E = 387,3   G P a

E para o módulo de resiliência u r , temos que:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos:

u r = 1 2 232,4   M P a 0,0006   m m / m m

Calculando, isso dá:

u r = 0,0697   M P a

Passo 3

Poderiamos já terminar o exercício por aqui.

Mas temos mais uma coisa que podemos fazer: como u r é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u r em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u r é M P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em M P a , em M J / m 3 :

u r = 0,0697   M J m 3

E assim, finalizamos o exercício:

Resposta

E a p r o x = 387,3   G P a

u r = 0,0697   M J / m 3

Exercício Resolvido #3

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade. A tensão de ruptura é σ r = 373,8   M P a .

Dica do Expert: Se você fez o exercício passado, o gráfico é o mesmo!

Passo 1

O primeiro passo desse exercício é desenhar o gráfico, que vai ser o mesmo do exercício passado, caso você já tenha feito ele:

Passo 2

Agora, em seguida, o exercício quer que a gente calcule o módulo de tenacidade u t do material.

Lembra aí!

Para calcular isso, vamos ter que calcular a área debaixo de todo o gráfico do diagrama tensão-deformação desse material:

E, para calcular essa área, vamos ter que aproximar ela como a soma das áreas de uma série de triângulos, retângulos e trapézios que aproximam essa curva.

A gente pode escolher dividir essa área como quiser! Só devemos evitar ignorar algum pedaço grande de área.

Para obter o mesmo gabarito do livro, dividimos essa área assim:

De tal forma que u t vai ser a soma das áreas das regiões 1 a 5 :

u t = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

Observando o gráfico, calculamos essas áreas individuais assim:

u t = 0,0006 * 232,4 2 + 0,0004 * 232,4 + 0,0004 * 318,5 - 232,4 2 + 0,0012 * 318,5 + 0,0012 * ( 373,8 - 318,5 ) 2   M P a

Finalmente, calculando tudo isso, encontramos que:

Resposta

u t ≅ 0,595   M J / m 3

(O seu resultado pode ser maior ou menor, já que o cálculo de u t é aproximado.)

Exercício Resolvido #4

Um eixo de aço de volume V = 8700 0   m m 3 foi tracionado até uma tensão σ = 90   M P a e uma deformação ε = 0,00045   m m / m m .

Considerando que o eixo está se comportando de forma linear-elástica, determine a energia de deformação U nesse eixo.

Passo 1

A energia de deformação U em uma peça que está seguindo a Lei de Hooke (ou seja, que está se comportando de forma linear-elástica), é dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Substituindo os valores de σ = 90   M P a , ε = 0,00045   m m / m m e V = 8700 0   m m 3 , temos que:

U = 1 2 90   M P a 0,00045 8700 0   m m 3

Como M P a é o mesmo que N / m m 2 , o resultado dessa conta vai sair em N * m m .

Calculando tudo, encontramos que:

U = 1761,8   N * m m

Substituindo m m por 10 - 3 m , vamos ter que:

U = 1761,8   N * 10 - 3   m

U ≅ 1,76   N * m

Finalmente, substituindo N * m por joule ( J ), encontramos nossa resposta:

Resposta

U = 1,76   J

Exercício Resolvido #5

A estrutura A B D abaixo suporta um peso P em sua ponta e é sustentada pelo cabo de aço C D , que forma um ângulo θ com a horizontal. Considerando que o cabo de aço possuí uma área A de seção transversal e que ele se comporta de acordo com a Lei de Hooke, possuindo um módulo de elasticidade E , determine:

( a ) a força de tração F C D no cabo em função do ângulo θ ;

( b ) o valor de θ para o qual a força F C D é mínima;

& ( c ) a densidade de energia de deformação u no cabo quando F C D é mínima.

Passo 1

O que está acontecendo?

A estrutura A B D traciona o cabo de aço com uma força F C D .

O cabo reage a essa tração fazendo uma força de mesma intensidade F C D que contribui para o equilíbrio da estrutura, como mostra o Diagrama de Corpo Livre da estrutura:

Aplicando as condições de equilíbrio nessa estrutura A B D , é possível encontrar uma expressão para a força F C D em função do peso P e do ângulo θ , respondendo assim o item ( a ) .

Em seguida, para responder o item ( b ) , vamos ter que usar a propriedade que vimos em cálculo que diz que os máximos e mínimos de uma função ocorrem quando a sua derivada é igual a zero.

Por fim, para resolver o item ( c ) , vamos ter que utilizar o valor encontrado para θ no item anterior para encontrar a força F C D mínima.

Com isso, vamos poder calcular a tensão normal média σ = N / A no cabo de aço, e, em seguida, calcular a densidade de energia de deformação u = 1 / 2 σ ε .

Passo 2

Começando pelo item ( a ) :

Para encontrar a força F C D em função do ângulo θ , vamos ter que observar o Diagrama de Corpo Livre da estrutura A B D :

E aplicar as condições de equilíbrio para essa estrutura.

Então vamos pensar...

A condição de equilíbrio que nos permite encontrar F C D sem que a gente tenha que se preocupar em calcular as reações no apoio em A ( H A e V A ) vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação ao ponto A , já conseguimos ver que o peso P vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com um braço L .

Quanto a força F C D , fica difícil visualizar o braço do momento que ela vai gerar uma vez que ela é uma força inclinada.

Para facilitar nossa vida, podemos decompor F C D em uma componente horizontal F C D x e uma componente vertical F C D y :

Pensando assim, vamos ter que, em relação ao ponto A :

  • A força F C D x vai gerar um momento no sentido anti-horário ( + ) com um braço ( 3 / 3 ) L ;
  • E a força F C D y vai gerar outro momento no sentido anti-horário ( + ), mas com um braço L .

Agora que entendemos como vão ficar os momentos em relação ao ponto A , podemos fazer o somatório de momentos, que fica assim:

∑ M A = 0

- P L + F C D x 3 3 L + F C D y L = 0

Dividindo tudo por L e passando P para o outro lado, temos que:

3 3 F C D x + F C D y = P

Substituindo F C D x = F C D cos ⁡ θ e F C D y = F C D sen ⁡ θ :

3 3 F C D cos ⁡ θ + F C D sen ⁡ θ = P

Tirando F C D em evidência:

F C D 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ = P

Finalmente, isolando F C D encontramos que:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

E assim está resolvido o item ( a ) !

Passo 3

Agora, no item ( b ) , temos que analisar para qual valor de θ a força F C D abaixo vai ser mínima:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

Bom, essa força vai ser mínima quando a expressão “ 3 / 3 cos ⁡ θ + s e n   θ ” que está dividindo ela for máxima.

Agora, lá em cálculo nós vimos que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.

Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de θ que satisfaz ela:

d 3 / 3 cos ⁡ θ + s e n   θ d θ = 0

Sabendo que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, essa derivada fica assim:

3 3 - sen ⁡ θ + ( cos ⁡ θ ) = 0

Passando ( cos ⁡ θ ) para o outro lado, temos que:

- sen ⁡ θ * 3 3 = - cos ⁡ θ

Dividindo tudo por - cos ⁡ θ , encontramos que:

tg ⁡ θ * 3 3 = 1

O que significa que:

tg ⁡ θ = 3 3 = 3

O ângulo que possui tangente igual à 3 é o ângulo de 60 ° , então temos que:

θ = 60 °

Ou seja, podemos dizer que a força F C D é mínima quando θ = 60 ° !

Passo 4

Finalmente, para o item ( c ) , vamos precisar da tensão normal média σ no cabo de aço para podermos encontrar a densidade de energia de deformação u .

Para encontrar σ , vamos primeiro encontrar o valor da força F C D mínima, e, em seguida, encontrar a tensão normal média σ = N / A correspondente.

Aplicando a fórmula que encontramos para F C D no item ( a ) , temos que:

F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

Substituindo θ = 60 ° :

F C D = P 3 3 cos ⁡ 60 ° + s e n   60 °

Como cos ⁡ 60 ° = 1 / 2 e sen ⁡ 60 ° = 3 / 2 :

F C D = P 3 3 1 2 + 3 2

Simplificando essa expressão, ela fica assim:

F C D = 2 P 3 1 3 + 1 = 2 P 3 4 3

Ou seja:

F C D = 3 * 2   P 3 * 4

Simplificando mais uma vez, finalmente encontramos que:

F C D = 3 2 P

Ou seja, a força F C D mínima no cabo de aço ocorre quando θ = 60 ° e é igual a ( 3 / 2 ) P .

Além disso, como a força F C D é a força de tração no cabo, vamos ter que a força interna normal N no cabo vai ser igual a F C D , ou seja:

N = 3 2 P

E essa força normal N vai gerar uma tensão normal média no cabo de aço:

σ = N A = 3 2 P A = 3   P 2 A

Passo 5

Agora que conhecemos o valor da tensão normal média σ no cabo quando a força F C D é mínima, podemos calcular a densidade de energia de deformação u no cabo nesse caso.

Da fórmula da densidade de energia de deformação u , temos que:

u = 1 2 σ ε

Nós não conhecemos a deformação ε no cabo, mas sabemos que o cabo está seguindo a Lei de Hooke σ = E ε , de tal forma que:

ε = σ E

Fazendo essa substituição na fórmula de u , encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Substituindo o valor encontrado para a tensão normal média σ :

u = 1 2 3   P 2 A 2 E

O que nos dá a resposta para o item ( c ) :

u = 3 P 2 8 A 2 E

Resposta

a     F C D = P 3 3 cos ⁡ θ + s e n   θ

b     θ = 60 °

&

c     u = 3 P 2 8 A 2 E

Exercício Resolvido #6

Uma barra rígida A B de comprimento L e peso W é mantida a 45 ° apoiada em uma escora C D de comprimento 0,5 L . A escora é posicionada de modo a receber a menor força de compressão possível. Desprezar o peso da escora e supor que A , C e D funcionem como apoios simples. Calcular:

( i ) o ângulo θ para o qual a força F C D na escora é mínima;

( i i ) a força F C D mínima;

( i i i ) a área da seção transversal da escora, sendo σ a d m a tensão admissível do material da mesma;

( i v ) o encurtamento δ D da escora;

( v ) a energia de deformação acumulada.

Dica do Expert: Em um momento desse exercício, pode ser útil lembrar que s e n ( 2 x ) = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x e que c o s 2 x = c o s 2 x - s e n 2 x . (Essas duas fórmulas vêm das fórmulas para seno e cosseno de a + b .)

Passo 1

O que está acontecendo?

O momento gerado pelo peso W da barra rígida A B é equilibrado pelo momento gerado pela força F C D que a escora faz na barra:

Daí que, pelo princípio da ação e reação, a barra vai reagir à força F C D feita nela pela escora com uma força de compressão na escora de mesma intensidade F C D :

E o que é que o exercício quer?

Nos itens ( i ) e ( i i ) , o exercício quer que a gente analise essa força F C D , para que depois, a gente use ela para calcular outros valores nos itens ( i i i ) , ( i v ) e ( v ) .

Daí que o grande desafio desse exercício é encontrar uma expressão para a força F C D .

Para fazer isso, vamos ter que aplicar as condições de equilíbrio na barra A B , o que vai nos dar um tanto de trabalho uma vez que o braço e a direção de F C D dependem do ângulo θ .

Depois que tivermos uma expressão para F C D , vamos poder prosseguir, item por item, fornecendo as respostas do exercício!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando as condições de equilíbrio na barra A B !

Fazendo um diagrama de corpo livre dela, temos as seguintes forças:

A condição de equilíbrio que vai nos permitir encontrar uma expressão para a força F C D mais facilmente vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Agora, calcular o momento da força F C D inclinada é um tanto complicado, então vamos decompor ela em uma componente horizontal F C D x e uma componente vertical F C D y :

Em seguida, antes de podemos fazer o somatório de momentos ∑ M A , precisamos encontrar os braços das forças F C D x , F C D y e W em relação ao ponto A .

Então, vamos fazer uma pausa para olhar para os ângulos do exercício e encontrar os braços das forças!

O peso W atua no meio da barra rígida A B de comprimento L , mas a barra está com uma inclinação de 45 ° , então temos que o braço do peso vai ser igual à L / 2 cos ⁡ 45 ° , como mostra a figura:

Já o braço da força F C D x vai ser igual à L / 2 * sen ⁡ θ , como mostra a figura abaixo:

Por fim, o braço da força F C D y vai ser igual ao braço da força F C D x :

Passo 3

Agora que entendemos como são os braços das forças em relação ao ponto A , podemos finalmente realizar o somatório de momentos:

∑ M A = 0

As forças F C D x e F C D y vão realizar um momento no sentido anti-horário ( + ), enquanto que a força W vai realizar um momento no sentido horário ( - ).

Dessa forma, o somatório de momentos fica assim:

F C D x * B r a ç o F C D x + F C D y * B r a ç o F C D y - W * B r a ç o W = 0

Substituindo os valores encontrados para os braços, temos que:

F C D x L 2 sen ⁡ θ + F C D y L 2 sen ⁡ θ - W L 2 cos ⁡ 45 ° = 0

Dividindo tudo por L / 2 sen ⁡ θ , isso fica assim:

F C D x + F C D y - W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ θ = 0

Passando a parte que está subtraindo para o outro lado e depois substituindo F C D x = F C D * cos ⁡ θ e F C D y = F C D * sen ⁡ θ , encontramos que:

F C D * cos ⁡ θ + F C D * sen ⁡ θ = W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ θ

E, finalmente, isolando F C D , encontramos uma expressão que descreve essa força:

F C D = W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Passo 4

Pronto! Agora que temos uma expressão que descreve a força F C D , podemos passar a resolver os itens do exercício.

Começando pelo item ( i ) : Calcular o ângulo θ para o qual a força F C D na escora é mínima.

Bom, a força F C D é dada por:

F C D = W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Essa expressão vai ser mínima quando a expressão “ sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ” que está dividindo ela for máxima.

Agora, se a gente se lembrar lá de cálculo, vamos nos lembrar que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.

Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de θ que satisfaz ela:

d sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ d θ = 0

Usando a regra do produto u v ' = u ' v + u v ' , isso fica assim:

sen ⁡ θ ' cos ⁡ θ + sen ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ ' = 0

Lembrando que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, conseguimos calcular essas derivadas:

cos ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ + s e n   θ - sen ⁡ θ + cos ⁡ θ = 0

E fazendo as multiplicações e arrumando tudo, isso fica assim:

c o s 2 θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - s e n 2 θ = 0

Agora, eu não vou mentir: fiquei chateado/perdido com esse exercício quando cheguei aqui.

A gente quer isolar θ para descobrir o valor de θ que satisfaz a condição da derivada igual à zero, mas nessa expressão acima, não tem nenhum jeito fácil de isolar θ .

Aí eu fui dormir....

No dia seguinte, quando acordei, percebi que aquela expressão acima me lembrava das fórmulas do seno e cosseno de a + b :

s e n a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

&

c o s a + b = c o s   a cos ⁡ b - s e n   a sen ⁡ b

E pois não é que quando você usa que a = θ e b = θ , você encontra que:

s e n 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

&

cos ⁡ 2 θ = c o s 2 x - s e n 2 x

Daí que, usando isso, você pode pegar a expressão que tinhamos encontrado:

c o s 2 θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - s e n 2 θ = 0

E reescrever ela assim:

cos ⁡ 2 θ + s e n 2 θ = 0

Passando cos ⁡ ( 2 θ ) pro outro lado, temos que:

s e n 2 θ = - cos ⁡ ( 2 θ )

Dividindo tudo por c o s ( 2 θ ) , isso fica assim:

t g 2 θ = - 1

E enquanto que o primeiro ângulo a ter uma tangente igual a 1 é o ângulo de 45 ° , o primeiro ângulo a ter uma tangente igual a - 1 é o ângulo de 135 ° , de tal forma que:

2 θ = 135 °

Sendo assim, encontramos o ângulo θ para o qual a força F C D vai ser mínima!

θ = 135 ° 2 = 67,5 °

Felizmente, à partir daqui, o exercício fica mais tranquilo. 😊

Passo 5

Item ( i ) resolvido, seguimos para o item ( i i ) : Calcular a força F C D mínima.

Pegando a expressão que tinhamos encontrado para a força F C D , temos que:

F C D = W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ θ cos ⁡ θ + sen ⁡ θ

Como acabamos de ver que F C D é mínima quando θ = 67,5 ° , a força F C D mínima vai ser:

F C D = W cos ⁡ 45 ° sen ⁡ 67,5 ° cos ⁡ 67,5 ° + sen ⁡ 67,5 °

A gente pode deixar esse resultado em função dos senos e cossenos assim.

Ou a gente pode usar uma calculadora para encontrar o que todos esses senos e cossenos vão dar.

Usando a calculadora, encontramos que:

F C D = 0,586   W

Passo 6

No próximo item, o item ( i i i ) , queremos calcular a área A da seção transversal da escora, sendo σ a d m a tensão admissível do material da mesma.

Então vamos nos lembrar...

Se um material tem uma tensão admissível σ a d m , isso significa que a tensão σ no material tem que ser menor ou igual que essa tensão admissível:

σ ≤ σ a d m

E a tensão normal σ na nossa escora pode ser dada pela fórmula da tensão normal média:

N A ≤ σ a d m

Agora, nós vimos lá no primeiro passo, quando entedemos o que estava acontecendo no exercício, que a escora está submetida a uma força de compressão F C D .

Então a intensidade N da força interna normal na nossa escora vai ser igual à intensidade dessa força F C D , que calculamos como 0,586   W .

Fazendo essa substituição, a expressão anterior fica assim:

0,586   W A ≤ σ a d m

Isolando a área A , que é o que queremos encontrar, obtemos que:

A ≥ 0,586   W σ a d m

Ou seja, a área mínima A m í n da seção transversal da escora vai ser:

A m í n = 0,586   W σ a d m

E assim finalizamos o item ( i i i ) .

Passo 7

Para o item ( i v ) , queremos calcular o encurtamento δ D da escora.

Esse encurtamento também pode ser entendido como a variação de comprimento δ C D que a escora C D sofre quando é comprimida e que é dada pela fórmula:

δ C D = N C D L C D E A C D

Sabemos que a escora possui uma força interna normal N C D = 0,586   W , e um comprimento L C D = 0,5   L .

E podemos considerar que ela possui um módulo de elasticidade E e uma área A C D igual a área mínima A m í n que ele pode ter, que foi encontrada no último item.

Fazendo isso, temos que:

δ C D = 0,586   W 0,5   L E 0,586   W σ a d m

Cortando ( 0,586   W ) em cima e em baixo e arrumando essa equação, ela fica assim:

δ C D = L σ a d m 2 E

Ou seja, o encurtamento δ D na escora é:

δ D = L σ a d m 2 E

Passo 8

Finalmente (!), chegamos ao item ( v ) : Calcular a energia de deformação acumulada na escoa.

Se considerarmos que o material da escora está se comportando de forma linear-elástica/de acordo com a Lei de Hooke, vamos ter que a energia de deformação U na escora vai ser dada por:

U = 1 2 σ ε V

Onde:

  • σ é a tensão na escora. Se considerarmos que a escora possui a menor área de seção transversal possível, σ vai ser igual a σ a d m ;
  • ε é a deformação na escora, que pode ser calculada pela Lei de Hooke σ = E ε . Considerando uma tensão σ a d m , vamos ter que ε = σ a d m / E ;
  • E V é o volume da escora.

Fazendo essas considerações, a energia de deformação fica assim:

U = 1 2 ( σ a d m ) σ a d m E V

Arrumando, isso dá:

U = 1 2 σ a d m 2 E V

E, assim, finalizamos o exercício!

Resposta

i     θ = 67,5 °

i i     F C D = 0,586   W

i i i     A = A m í n = 0,586   W σ a d m

i v     δ D = L σ a d m 2 E

&

v     U = 1 2 σ a d m 2 E V

Exercício Resolvido #7

Com base no gráfico de tensão e deformação dado abaixo, determine o módulo de resiliência e de tenacidade desse material.

Passo 1

Para resolver esse exercício precisamos relembrar como determinar o modulo de resiliência e de tenacidade usando um gráfico de tensão por deformação. Vamos começar pelo modulo de resiliência.

O modulo de resiliência é calculado pela fórmula

u r = 1 2 σ L P ε L P

Em que σ L P   e   ε L P são valores de tensão e deformação no limite de proporcionalidade. Se prestarmos atenção essa fórmula representa exatamente a área do primeiro triangulo que aparece na nossa figura, que representamos na imagem abaixo

Passo 2

Já sabemos o que fazer com o modulo de resiliência, mas e o modulo de tenacidade?

O modulo de tenacidade é bem tranquilo, é só determinar a área abaixo do gráfico, como mostrado a seguir

Passo 3

Agora que já sabemos como calcular cada um desses valores, vamos determina-los.

Primeiro o modulo de resiliência.

Sabemos que

σ L P = 350   M P a

ε L P = 0,0012

Como a fórmula é

u r = 1 2 σ L P ε L P

Substituindo teremos que

u r = 1 2 . 350 . 0,0012 = 0,21   M p a = 210 K N m 2

Como queremos uma unidade de densidade de energia, multiplicaremos em cima e embaixo por metros, teremos então

u r = 210 K N . m m 2 . m = 210 K J m 3

Passo 4

Precisamos determinar também o modulo de tenacidade, e para isso precisamos calcular a área abaixo do nosso gráfico, vamos dividir então o nosso gráfico em três regiões de interesse.

Agora basta calcularmos a soma dessas áreas para definirmos o modulo de tenacidade do nosso material.

u t = 350   .   0,0012 2 + 350 + 400 .   0,0028 - 0,0012 2 + 400 + 420 . 0,0059 - 0,0028 2

u t = 2,081 M p a = 2081 K J m 3

Resposta

u r = 210 K J m 3

u t = 2081 K J m 3

Exercício Resolvido #8

O pilar abaixo está submetido ao carregamento mostrado. Usando seus conhecimentos acerca de energia de deformação, determine o valor da energia de deformação dessa peça.

E = 40 M P a .

Passo 1

Esse exercício quer testar o nosso cuidado com unidades e aplicação de fórmula, então vamos tomar alguns cuidados nas nossas resoluções. Vamos primeiro determinar a fórmula que devemos usar.

U = σ ε V 2

Em que sabemos que podemos determinar cada termo dessa equação pelas fórmulas

σ = N A

Em que a área é

A = π r 2

Sabemos também que podemos definir a deformação especifica pela lei de Hooke da seguinte maneira

ε = σ E

E por fim sabemos que o volume nesse caso se trata do volume do cilindro que é dado por

V = π r 2 H

Passo 2

Como já temos as nossas fórmulas, vamos substitui-las na equação principal.

U = σ ε V 2

U = σ σ E V 2 = σ 2 V 2 E

U = σ 2 V 2 E = ( N A ) 2 . π r 2 H 2 E = N 2 π r 2 H 2 E A 2

U = N 2 π r 2 H 2 E ( π r 2 ) 2 = N 2 π r 2 H 2 E π 2 r 4 = N 2 H 2 E π r 2

U = N 2 H 2 E π r 2

Passo 3

Vamos agora substituir os valores que o enunciado nos dá e vamos determinar o valor da nossa energia

N = 280 K N

H = 2 m

E = 40   M p a = 40000 K N m 2

r = 0,20 m

Calculando a energia teremos que

U = 280 2 . 2 2 . 40000 . π . 0,20 2 = 15,6   K J

Resposta

U = 15,6   K J

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