Energia de Deformação
Teoria
Introdução
Se lembra como, lá na física, uma mola deformada tinha uma certa energia potencial elástica?
Isso acontecia porque, para deformar a mola, você tinha que realizar um trabalho nela, e esse trabalho era absorvido na forma da energia elástica.
Então...
Da mesma forma, qualquer peça que estiver deformada elasticamente (de acordo com a Lei de Hooke) vai ter uma certa Energia de Deformação dada pela fórmula:
Onde é a tensão na peça, a deformação e é o volume inicial da peça. Observe que somente podemos utilizar esse conceito quando a deformação é elástica, ou seja, não causa deformação permanente na peça. Vamos fazer um exemplo prático desse cálculo.
Calcule a energia de deformação quando uma peça cilíndrica de diâmetro da base e altura sofre um alongamento de . Sabe-se que a força normal aplicada à essa peça vale .
Resolução: Para resolver essa questão basta que achemos a tensão normal, a deformação e o volume da peça e substituir na fórmula.
A tensão é dada pela força sobre a área:
A deformação é um adimensional que é dado pelo alongamento sobre o tamanho inicial:
E o volume inicial da peça é dado por:
Agora é só substituir na equação:
Densidade da Energia de Deformação
Talvez, ao invés da energia de deformação , pode ser pedido para você calcular a densidade de energia de deformação em um material, que vai ser dada por:
Dessa forma, temos que a energia de deformação de uma peça vai ser a densidade multiplicada pelo volume da peça.
Então para o caso calculado anteriormente nós teríamos uma densidade da energia de deformação de:
Módulo de Resiliência
O que é resiliência para você? Essa palavra está muito em foco hoje em dia não é mesmo? Sempre escutamos falar da resiliência das pessoas. Resiliência é a capacidade que alguém tem de apanhar e apanhar e permanecer na luta, inalterado. O Rocky é um cara resiliente.
Para os materiais nós vamos ter mais ou menos a mesma coisa. Um material resiliente é aquele que se deforma muito e ainda volta ao normal. Isso acontece por exemplo com o arco do arqueiros, esse objeto tem que estar suscetível apenas à deformação elástica e não à plástica. Por exemplo o bambu, material dos arcos japoneses. Olha esse tiozinho testando a resiliência do bambu.
Legal né? Mas como vamos calcular de fato a resiliência? As fórmulas que vimos para e supõem que os materiais se deformaram de acordo com a Lei de Hooke.
Mas acontece que muitos materiais deixam de seguir a Lei de Hooke a partir de um certo nível de tensão, chamado de limite de proporcionalidade.
Daí que se a gente fosse calcular o valor máximo de que um material pode ter sem deixar de seguir a Lei de Hooke, esse valor seria o módulo de resiliência do material:
Perceba que trata-se da energia acumulada pelo material exatamente no ponto limite de proporcionalidade!
Onde e são os valores da tensão e da deformação no limite de proporcionalidade do material.
OBS: Limite de proporcionalidade não significa que saímos do regime elástico para o plástico, significa apenas que o nosso gráfico não é mais uma reta fica ligado nisso!
Além desse cálculo utilizando o limite de proporcionalidade, podemos calcular o módulo de resiliência de um material usando o Diagrama Tensão-Deformação desse material.
Nesse caso, vai ser igual a área triangular que está abaixo da parte do diagrama que segue a Lei de Hooke:
Olha como essa área é um triângulo e é igualzinha à nossa equação:
Módulo de Tenacidade
Já o módulo de tenacidade é a densidade de energia de deformação máxima que um material pode adquirir antes dele se romper.
Ele é igual a área debaixo de todo o Diagrama Tensão-Deformação do material e é calculado somando a área de trapézios, retângulos e triângulos que aproximem a curva do diagrama, ou fazendo a integral.
Mas pessoal, muito provavelmente vocês não vão realizar esses cálculos. O que será cobrado de vocês será comparar dois diagramas e dizer qual material é mais tenaz, por exemplo:
E aí, qual dos dois parece ser mais tenaz?
A área do aço dúctil parece ser bem maior não é mesmo? Então ele é mais tenaz!
Densidade da Energia de Deformação
Módulo de Resiliência
Módulo de Tenacidade
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Uma coluna de concreto com uma seção transversal de está submetida a uma compressão de .
Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação no concreto.
Dados:
Passo 1
A coluna de concreto possui uma área de seção transversal e um módulo e elasticidade .
Além disso, como a única força na coluna é a compressão de , vamos ter na coluna uma força interna normal .
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber a densidade de energia de deformação na coluna.
Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que vai ser dado pela fórmula:
Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke para substituir a deformação e a fórmula da tensão normal média para substituir a tensão .
Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para em função de valores que conhecemos!
Passo 2
Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação para um material que está seguindo a Lei de Hooke:
Da Lei de Hooke , temos que .
Fazendo essa substituição, encontramos que:
Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:
E pronto! Temos uma expressão para em função de valores que conhecemos!
Passo 3
Substituindo os valores de , e na expressão anterior, temos:
A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades , que é o mesmo que .
Dessa forma, vamos ter como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos como unidade na parte inferior.
Sendo assim, o resultado da conta vai sair em !
Calculando tudo, encontramos que:
Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em :
Passo 4
Poderiamos terminar o exercício por aqui.
Mas ainda temos uma coisa para fazer: como é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de em uma unidade de energia sobre volume.
(A unidade atual do nosso resultado para é , que é uma unidade de tensão!)
Então vamos pensar...
Multiplicando em cima e em baixo por , isso fica assim:
Mas é o mesmo que joule, então:
Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em , em :
E assim temos a nossa resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.2.
Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.
Passo 1
A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico:
Em seguida, o exercício quer que a gente determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência desse material.
Para tanto, vamos usar a informação de que a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.
O que isso significa é que o primeiro ponto é o limite de proporcionalidade do material (o último ponto do diagrama que segue a Lei de Hooke), de tal forma que:
Agora, lembra aí!
Para calcular o módulo de elasticidade de um material, podemos usar os valores de e de qualquer ponto do diagrama tensão-deformação que siga a Lei de Hooke .
Usando e , vamos ter que:
O que significa que:
E para calcular o módulo de resiliência do nosso material, podemos nos lembrar que ele é igual à área triangular debaixo da região linear do diagrama tensão-deformação:
Ou podemos nos lembrar diretamente da fórmula para :
Passo 2
Agora que já desenhamos o Diagrama Tensão-Deformação do material e entendemos como encontrar os valores de e para o material, vamos calcular esses valores!
Para o módulo de elasticidade , temos que:
Substituindo os valores de e , encontramos que:
O que dá:
Como esse número é um pouco grande, o reescrevemos em :
E para o módulo de resiliência , temos que:
Substituindo os valores de e , encontramos:
Calculando, isso dá:
Passo 3
Poderiamos já terminar o exercício por aqui.
Mas temos mais uma coisa que podemos fazer: como é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de em uma unidade de energia sobre volume.
(A unidade atual do nosso resultado para é , que é uma unidade de tensão!)
Então vamos pensar...
Multiplicando em cima e em baixo por , isso fica assim:
Mas é o mesmo que joule, então:
Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em , em :
E assim, finalizamos o exercício:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.3.
Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade. A tensão de ruptura é .
Dica do Expert: Se você fez o exercício passado, o gráfico é o mesmo!
Passo 1
O primeiro passo desse exercício é desenhar o gráfico, que vai ser o mesmo do exercício passado, caso você já tenha feito ele:
Passo 2
Agora, em seguida, o exercício quer que a gente calcule o módulo de tenacidade do material.
Lembra aí!
Para calcular isso, vamos ter que calcular a área debaixo de todo o gráfico do diagrama tensão-deformação desse material:
E, para calcular essa área, vamos ter que aproximar ela como a soma das áreas de uma série de triângulos, retângulos e trapézios que aproximam essa curva.
A gente pode escolher dividir essa área como quiser! Só devemos evitar ignorar algum pedaço grande de área.
Para obter o mesmo gabarito do livro, dividimos essa área assim:
De tal forma que vai ser a soma das áreas das regiões a :
Observando o gráfico, calculamos essas áreas individuais assim:
Finalmente, calculando tudo isso, encontramos que:
Resposta
(O seu resultado pode ser maior ou menor, já que o cálculo de é aproximado.)
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Um eixo de aço de volume foi tracionado até uma tensão e uma deformação .
Considerando que o eixo está se comportando de forma linear-elástica, determine a energia de deformação nesse eixo.
Passo 1
A energia de deformação em uma peça que está seguindo a Lei de Hooke (ou seja, que está se comportando de forma linear-elástica), é dada pela fórmula:
Substituindo os valores de , e , temos que:
Como é o mesmo que , o resultado dessa conta vai sair em .
Calculando tudo, encontramos que:
Substituindo por , vamos ter que:
Finalmente, substituindo por joule (), encontramos nossa resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
A estrutura abaixo suporta um peso em sua ponta e é sustentada pelo cabo de aço , que forma um ângulo com a horizontal. Considerando que o cabo de aço possuí uma área de seção transversal e que ele se comporta de acordo com a Lei de Hooke, possuindo um módulo de elasticidade , determine:
a força de tração no cabo em função do ângulo ;
o valor de para o qual a força é mínima;
& a densidade de energia de deformação no cabo quando é mínima.
Passo 1
O que está acontecendo?
A estrutura traciona o cabo de aço com uma força .
O cabo reage a essa tração fazendo uma força de mesma intensidade que contribui para o equilíbrio da estrutura, como mostra o Diagrama de Corpo Livre da estrutura:
Aplicando as condições de equilíbrio nessa estrutura , é possível encontrar uma expressão para a força em função do peso e do ângulo , respondendo assim o item .
Em seguida, para responder o item , vamos ter que usar a propriedade que vimos em cálculo que diz que os máximos e mínimos de uma função ocorrem quando a sua derivada é igual a zero.
Por fim, para resolver o item , vamos ter que utilizar o valor encontrado para no item anterior para encontrar a força mínima.
Com isso, vamos poder calcular a tensão normal média no cabo de aço, e, em seguida, calcular a densidade de energia de deformação .
Passo 2
Começando pelo item :
Para encontrar a força em função do ângulo , vamos ter que observar o Diagrama de Corpo Livre da estrutura :
E aplicar as condições de equilíbrio para essa estrutura.
Então vamos pensar...
A condição de equilíbrio que nos permite encontrar sem que a gente tenha que se preocupar em calcular as reações no apoio em ( e ) vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :
Em relação ao ponto , já conseguimos ver que o peso vai gerar um momento no sentido horário () com um braço .
Quanto a força , fica difícil visualizar o braço do momento que ela vai gerar uma vez que ela é uma força inclinada.
Para facilitar nossa vida, podemos decompor em uma componente horizontal e uma componente vertical :
Pensando assim, vamos ter que, em relação ao ponto :
- A força vai gerar um momento no sentido anti-horário () com um braço ;
- E a força vai gerar outro momento no sentido anti-horário (), mas com um braço .
Agora que entendemos como vão ficar os momentos em relação ao ponto , podemos fazer o somatório de momentos, que fica assim:
Dividindo tudo por e passando para o outro lado, temos que:
Substituindo e :
Tirando em evidência:
Finalmente, isolando encontramos que:
E assim está resolvido o item !
Passo 3
Agora, no item , temos que analisar para qual valor de a força abaixo vai ser mínima:
Bom, essa força vai ser mínima quando a expressão “” que está dividindo ela for máxima.
Agora, lá em cálculo nós vimos que os máximos e mínimos das funções ocorrem quando as suas derivadas são iguais à zero.
Então vamos aplicar essa condição da derivada igual a zero aqui e descobrir qual é o valor de que satisfaz ela:
Sabendo que derivada de seno é cosseno e que derivada de cosseno é menos seno, essa derivada fica assim:
Passando para o outro lado, temos que:
Dividindo tudo por , encontramos que:
O que significa que:
O ângulo que possui tangente igual à é o ângulo de , então temos que:
Ou seja, podemos dizer que a força é mínima quando !
Passo 4
Finalmente, para o item , vamos precisar da tensão normal média no cabo de aço para podermos encontrar a densidade de energia de deformação .
Para encontrar , vamos primeiro encontrar o valor da força mínima, e, em seguida, encontrar a tensão normal média correspondente.
Aplicando a fórmula que encontramos para no item , temos que:
Substituindo :