Energia de Deformação

Teoria Completa

Nesse tópico, vamos ver os conceitos de energia de deformação e densidade de energia de deformação e conhecer os módulos de resiliência e de tenacidade.

Introdução

Se lembra como, lá na física, uma mola deformada tinha uma certa energia potencial elástica?

Isso acontecia porque, para deformar a mola, você tinha que realizar um trabalho nela, e esse trabalho era absorvido na forma da energia elástica.

Então...

Da mesma forma, qualquer peça que estiver deformada elasticamente (de acordo com a Lei de Hooke) vai ter uma certa Energia de Deformação U dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Onde σ é a tensão na peça, ε a deformação e V é o volume da peça.

Densidade da Energia de Deformação

Talvez, ao invés da energia de deformação U , pode ser pedido para você calcular a densidade de energia de deformação u em um material, que vai ser dada por:

u = 1 2 σ ε

Dessa forma, temos que a energia de deformação U de uma peça vai ser a densidade u multiplicada pelo volume V da peça.

Módulo de Resiliência

As fórmulas que vimos para U e u supõem que os materiais se deformaram de acordo com a Lei de Hooke.

Mas acontece que muitos materiais deixam de seguir a Lei de Hooke a partir de um certo nível de tensão, chamado de limite de proporcionalidade.

Daí que se a gente fosse calcular o valor máximo de u que um material pode ter sem deixar de seguir a Lei de Hooke, esse valor seria o módulo de resiliência u r do material:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Onde σ L P e ε L P são os valores da tensão e da deformação no limite de proporcionalidade do material.

Ainda podemos calcular o módulo de resiliência u r de um material usando o Diagrama Tensão-Deformação desse material.

Nesse caso, u r vai ser igual a área triangular que está abaixo da parte do diagrama que segue a Lei de Hooke:

Módulo de Tenacidade

Já o módulo de tenacidade u t é a densidade de energia de deformação u máxima que um material pode adquirir antes dele se romper.

Ele é igual a área debaixo de todo o Diagrama Tensão-Deformação do material e é calculado somando a área de trapézios, retângulos e triângulos que aproximem a curva do diagrama:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma coluna de concreto com uma seção transversal de 100   m m   ×   400   m m está submetida a uma compressão de 900   k N .

Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação u no concreto.

Dados: E c o n c r e t o = 40   G P a

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Passo 1

A coluna de concreto possui uma área de seção transversal A = ( 100   m m ) ( 400   m m ) e um módulo e elasticidade E = 40   G P a .

Além disso, como a única força na coluna é a compressão de 900   k N , vamos ter na coluna uma força interna normal N = - 900   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a densidade de energia de deformação u na coluna.

Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que u vai ser dado pela fórmula:

u = 1 2 σ ε

Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke σ = E ε para substituir a deformação ε e a fórmula da tensão normal média σ = N / A para substituir a tensão σ .

Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação u para um material que está seguindo a Lei de Hooke:

u = 1 2 σ ε

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que ε = σ / E .

Fazendo essa substituição, encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:

u = 1 2 N A 2 E

E pronto! Temos uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 3

Substituindo os valores de N , A e E na expressão anterior, temos:

u = 1 2 ( - 900   k N ) ( 100   m m ) ( 400   m m ) 2 ( 40   G P a )

A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Dessa forma, vamos ter G P a 2 como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos G P a como unidade na parte inferior.

Sendo assim, o resultado da conta vai sair em G P a !

Calculando tudo, encontramos que:

u = 6,33 * 10 - 6   G P a

Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em k P a :

u = 6,33   k P a

Passo 4

Poderiamos terminar o exercício por aqui.

Mas ainda temos uma coisa para fazer: como u é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u é k P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em k P a , em k J / m 3 :

u = 6,33 k J m 3

E assim temos a nossa resposta:

Resposta

u = 6,33   k P a = 6,33 k J m 3

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.2.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.

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Passo 1

A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico:

Em seguida, o exercício quer que a gente determine o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u r desse material.

Para tanto, vamos usar a informação de que a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.

O que isso significa é que o primeiro ponto é o limite de proporcionalidade L P do material (o último ponto do diagrama que segue a Lei de Hooke), de tal forma que:

σ L P = σ 1 = 232,4   M P a

&

ε L P = ε 1 = 0,0006   m m / m m

Agora, lembra aí!

Para calcular o módulo de elasticidade E de um material, podemos usar os valores de σ e ε de qualquer ponto do diagrama tensão-deformação que siga a Lei de Hooke σ = E ε .

Usando σ L P e ε L P , vamos ter que:

σ L P = E ε L P

O que significa que:

E = σ L P ε L P

E para calcular o módulo de resiliência u r do nosso material, podemos nos lembrar que ele é igual à área triangular debaixo da região linear do diagrama tensão-deformação:

Ou podemos nos lembrar diretamente da fórmula para u r :

u r = 1 2 σ L P ε L P

Passo 2

Agora que já desenhamos o Diagrama Tensão-Deformação do material e entendemos como encontrar os valores de E e u r para o material, vamos calcular esses valores!

Para o módulo de elasticidade E , temos que:

E = σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos que:

E = ( 232,4   M P a ) ( 0,0006   m m / m m )

O que dá:

E = 387333   M P a

Como esse número é um pouco grande, o reescrevemos em G P a :

E = 387,3   G P a

E para o módulo de resiliência u r , temos que:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos:

u r = 1 2 232,4   M P a 0,0006   m m / m m

Calculando, isso dá:

u r = 0,0697   M P a

Passo 3

Poderiamos já terminar o exercício por aqui.

Mas temos mais uma coisa que podemos fazer: como u r é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u r em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u r é M P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em M P a , em M J / m 3 :

u r = 0,0697   M J m 3

E assim, finalizamos o exercício:

Resposta

E a p r o x = 387,3   G P a

u r = 0,0697   M J / m 3

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.3.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade. A tensão de ruptura é σ r = 373,8   M P a .

Dica do Expert: Se você fez o exercício passado, o gráfico é o mesmo!

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Passo 1

O primeiro passo desse exercício é desenhar o gráfico, que vai ser o mesmo do exercício passado, caso você já tenha feito ele: