Energia de Deformação

Teoria Completa

Introdução

Se lembra como, lá na física, uma mola deformada tinha uma certa energia potencial elástica?

Isso acontecia porque, para deformar a mola, você tinha que realizar um trabalho nela, e esse trabalho era absorvido na forma da energia elástica.

τ = F . Δ x

τ = k . Δ x 2 2

Então...

Da mesma forma, qualquer peça que estiver deformada elasticamente (de acordo com a Lei de Hooke) vai ter uma certa Energia de Deformação U dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Onde σ é a tensão na peça, ε a deformação e V é o volume inicial da peça. Observe que somente podemos utilizar esse conceito quando a deformação é elástica, ou seja, não causa deformação permanente na peça. Vamos fazer um exemplo prático desse cálculo.

Calcule a energia de deformação quando uma peça cilíndrica de diâmetro da base d = 20   m m e altura h = 100   m m sofre um alongamento de 1   m m . Sabe-se que a força normal aplicada à essa peça vale 500   k N .

Resolução: Para resolver essa questão basta que achemos a tensão normal, a deformação e o volume da peça e substituir na fórmula.

A tensão é dada pela força sobre a área:

σ = F A

σ = F π d 2 / 4

σ = 500.000 π 20.10 - 3 2 4 = 1591,55   M P a

A deformação é um adimensional que é dado pelo alongamento sobre o tamanho inicial:

ε = Δ L L 0

ε = 1 100 = 0,01

E o volume inicial da peça é dado por:

V = π d 2 4 × h

V = π 20.10 - 3 2 4 × 100.10 - 3

V = 3,14.10 - 5   m 3

Agora é só substituir na equação:

U = 1 2 σ ε V

U = 1 2 ( 1591,55 . 10 6 ) ( 0,01 ) ( 3,14.10 - 3 )

U = 25   k J

Densidade da Energia de Deformação

Talvez, ao invés da energia de deformação U , pode ser pedido para você calcular a densidade de energia de deformação u em um material, que vai ser dada por:

u = 1 2 σ ε

Dessa forma, temos que a energia de deformação U de uma peça vai ser a densidade u multiplicada pelo volume V da peça.

U = u . V

Então para o caso calculado anteriormente nós teríamos uma densidade da energia de deformação de:

u = 1 2 ( 1591,55.10 6 ) ( 0,01 )

u = 7,96.10 6   J / m 3

Módulo de Resiliência

O que é resiliência para você? Essa palavra está muito em foco hoje em dia não é mesmo? Sempre escutamos falar da resiliência das pessoas. Resiliência é a capacidade que alguém tem de apanhar e apanhar e permanecer na luta, inalterado. O Rocky é um cara resiliente.

Para os materiais nós vamos ter mais ou menos a mesma coisa. Um material resiliente é aquele que se deforma muito e ainda volta ao normal. Isso acontece por exemplo com o arco do arqueiros, esse objeto tem que estar suscetível apenas à deformação elástica e não à plástica. Por exemplo o bambu, material dos arcos japoneses. Olha esse tiozinho testando a resiliência do bambu.

Legal né? Mas como vamos calcular de fato a resiliência? As fórmulas que vimos para U e u supõem que os materiais se deformaram de acordo com a Lei de Hooke.

Mas acontece que muitos materiais deixam de seguir a Lei de Hooke a partir de um certo nível de tensão, chamado de limite de proporcionalidade.

Daí que se a gente fosse calcular o valor máximo de u que um material pode ter sem deixar de seguir a Lei de Hooke, esse valor seria o módulo de resiliência u r do material:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Perceba que trata-se da energia acumulada pelo material exatamente no ponto limite de proporcionalidade!

Onde σ L P e ε L P são os valores da tensão e da deformação no limite de proporcionalidade do material.

OBS: Limite de proporcionalidade não significa que saímos do regime elástico para o plástico, significa apenas que o nosso gráfico não é mais uma reta fica ligado nisso!

Além desse cálculo utilizando o limite de proporcionalidade, podemos calcular o módulo de resiliência u r de um material usando o Diagrama Tensão-Deformação desse material.

Nesse caso, u r vai ser igual a área triangular que está abaixo da parte do diagrama que segue a Lei de Hooke:

Olha como essa área é um triângulo e é igualzinha à nossa equação:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Módulo de Tenacidade

Já o módulo de tenacidade u t é a densidade de energia de deformação u máxima que um material pode adquirir antes dele se romper.

Ele é igual a área debaixo de todo o Diagrama Tensão-Deformação do material e é calculado somando a área de trapézios, retângulos e triângulos que aproximem a curva do diagrama, ou fazendo a integral.

Mas pessoal, muito provavelmente vocês não vão realizar esses cálculos. O que será cobrado de vocês será comparar dois diagramas e dizer qual material é mais tenaz, por exemplo:

E aí, qual dos dois parece ser mais tenaz?

A área do aço dúctil parece ser bem maior não é mesmo? Então ele é mais tenaz!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma coluna de concreto com uma seção transversal de 100   m m   ×   400   m m está submetida a uma compressão de 900   k N .

Considerando que, nessas condições, o concreto possui um comportamento elástico-linear, determine a densidade de energia de deformação u no concreto.

Dados: E c o n c r e t o = 40   G P a

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Passo 1

A coluna de concreto possui uma área de seção transversal A = ( 100   m m ) ( 400   m m ) e um módulo e elasticidade E = 40   G P a .

Além disso, como a única força na coluna é a compressão de 900   k N , vamos ter na coluna uma força interna normal N = - 900   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a densidade de energia de deformação u na coluna.

Como o concreto possui um comportamento elástico-linear (está seguindo a Lei de Hooke), temos que u vai ser dado pela fórmula:

u = 1 2 σ ε

Nessa fórmula, podemos usar a Lei de Hooke σ = E ε para substituir a deformação ε e a fórmula da tensão normal média σ = N / A para substituir a tensão σ .

Dessa forma, vamos encontrar uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 2

Então, vamos começar aplicando a fórmula da densidade de energia de deformação u para um material que está seguindo a Lei de Hooke:

u = 1 2 σ ε

Da Lei de Hooke σ = E ε , temos que ε = σ / E .

Fazendo essa substituição, encontramos que:

u = 1 2 σ σ E

u = 1 2 σ 2 E

Em seguida, aplicando a fórmula da tensão normal média, temos que:

u = 1 2 N A 2 E

E pronto! Temos uma expressão para u em função de valores que conhecemos!

Passo 3

Substituindo os valores de N , A e E na expressão anterior, temos:

u = 1 2 ( - 900   k N ) ( 100   m m ) ( 400   m m ) 2 ( 40   G P a )

A parte dessa equação que está elevada ao quadrado tem unidades k N / m m 2 , que é o mesmo que G P a .

Dessa forma, vamos ter G P a 2 como unidade na parte superior da equação enquanto que já temos G P a como unidade na parte inferior.

Sendo assim, o resultado da conta vai sair em G P a !

Calculando tudo, encontramos que:

u = 6,33 * 10 - 6   G P a

Esse número é bastante pequeno, então podemos reescrevê-lo em k P a :

u = 6,33   k P a

Passo 4

Poderiamos terminar o exercício por aqui.

Mas ainda temos uma coisa para fazer: como u é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u é k P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em k P a , em k J / m 3 :

u = 6,33 k J m 3

E assim temos a nossa resposta:

Resposta

u = 6,33   k P a = 6,33 k J m 3

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.2.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o módulo de elasticidade e o módulo de resiliência.

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Passo 1

A primeira coisa que fazemos nesse exercício é desenhar o Diagrama Tensão-Deformação do material em um gráfico:

Em seguida, o exercício quer que a gente determine o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u r desse material.

Para tanto, vamos usar a informação de que a curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.

O que isso significa é que o primeiro ponto é o limite de proporcionalidade L P do material (o último ponto do diagrama que segue a Lei de Hooke), de tal forma que:

σ L P = σ 1 = 232,4   M P a

&

ε L P = ε 1 = 0,0006   m m / m m

Agora, lembra aí!

Para calcular o módulo de elasticidade E de um material, podemos usar os valores de σ e ε de qualquer ponto do diagrama tensão-deformação que siga a Lei de Hooke σ = E ε .

Usando σ L P e ε L P , vamos ter que:

σ L P = E ε L P

O que significa que:

E = σ L P ε L P

E para calcular o módulo de resiliência u r do nosso material, podemos nos lembrar que ele é igual à área triangular debaixo da região linear do diagrama tensão-deformação:

Ou podemos nos lembrar diretamente da fórmula para u r :

u r = 1 2 σ L P ε L P

Passo 2

Agora que já desenhamos o Diagrama Tensão-Deformação do material e entendemos como encontrar os valores de E e u r para o material, vamos calcular esses valores!

Para o módulo de elasticidade E , temos que:

E = σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos que:

E = ( 232,4   M P a ) ( 0,0006   m m / m m )

O que dá:

E = 387333   M P a

Como esse número é um pouco grande, o reescrevemos em G P a :

E = 387,3   G P a

E para o módulo de resiliência u r , temos que:

u r = 1 2 σ L P ε L P

Substituindo os valores de σ L P e ε L P , encontramos:

u r = 1 2 232,4   M P a 0,0006   m m / m m

Calculando, isso dá:

u r = 0,0697   M P a

Passo 3

Poderiamos já terminar o exercício por aqui.

Mas temos mais uma coisa que podemos fazer: como u r é uma medida de densidade de energia, queremos dar o resultado de u r em uma unidade de energia sobre volume.

(A unidade atual do nosso resultado para u r é M P a , que é uma unidade de tensão!)

Então vamos pensar...

P a = N m 2

Multiplicando em cima e em baixo por m , isso fica assim:

P a = N * m m 2 * m

Mas N * m é o mesmo que joule, então:

P a = J m 3

Sendo assim, podemos reescrever o nosso resultado, que está em M P a , em M J / m 3 :

u r = 0,0697   M J m 3

E assim, finalizamos o exercício:

Resposta

E a p r o x = 387,3   G P a

u r = 0,0697   M J / m 3

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 68-3.3.

Os dados obtidos em um ensaio de tensão-deformação para um material cerâmico são dados na tabela. A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto. Represente o diagrama em gráfico e determine o valor aproximado do módulo de tenacidade. A tensão de ruptura é σ r = 373,8   M P a .

Dica do Expert: Se você fez o exercício passado, o gráfico é o mesmo!

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Passo 1

O primeiro passo desse exercício é desenhar o gráfico, que vai ser o mesmo do exercício passado, caso você já tenha feito ele:

Passo 2

Agora, em seguida, o exercício quer que a gente calcule o módulo de tenacidade u t do material.

Lembra aí!

Para calcular isso, vamos ter que calcular a área debaixo de todo o gráfico do diagrama tensão-deformação desse material:

E, para calcular essa área, vamos ter que aproximar ela como a soma das áreas de uma série de triângulos, retângulos e trapézios que aproximam essa curva.

A gente pode escolher dividir essa área como quiser! Só devemos evitar ignorar algum pedaço grande de área.

Para obter o mesmo gabarito do livro, dividimos essa área assim:

De tal forma que u t vai ser a soma das áreas das regiões 1 a 5 :

u t = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

Observando o gráfico, calculamos essas áreas individuais assim:

u t = 0,0006 * 232,4 2 + 0,0004 * 232,4 + 0,0004 * 318,5 - 232,4 2 + 0,0012 * 318,5 + 0,0012 * ( 373,8 - 318,5 ) 2   M P a

Finalmente, calculando tudo isso, encontramos que:

Resposta

u t ≅ 0,595   M J / m 3

(O seu resultado pode ser maior ou menor, já que o cálculo de u t é aproximado.)

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Um eixo de aço de volume V = 8700 0   m m 3 foi tracionado até uma tensão σ = 90   M P a e uma deformação ε = 0,00045   m m / m m .

Considerando que o eixo está se comportando de forma linear-elástica, determine a energia de deformação U nesse eixo.

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Passo 1

A energia de deformação U em uma peça que está seguindo a Lei de Hooke (ou seja, que está se comportando de forma linear-elástica), é dada pela fórmula:

U = 1 2 σ ε V

Substituindo os valores de σ = 90   M P a , ε = 0,00045   m m / m m e V = 8700 0   m m 3 , temos que:

U = 1 2 90   M P a 0,00045 8700 0   m m 3

Como M P a é o mesmo que N / m m 2 , o resultado dessa conta vai sair em N * m m .

Calculando tudo, encontramos que:

U = 1761,8   N * m m

Substituindo m m por 10 - 3 m , vamos ter que:

U = 1761,8   N * 10 - 3   m

U ≅ 1,76   N * m

Finalmente, substituindo N * m por joule ( J ), encontramos nossa resposta:

Resposta

U = 1,76   J

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

A estrutura A B D abaixo suporta um peso P em sua ponta e é sustentada pelo cabo de aço C D , que forma um ângulo θ com a horizontal. Considerando que o cabo de aço possuí uma área A de seção transversal e que ele se comporta de acordo com a Lei de Hooke, possuindo um módulo de elasticidade E , determine:

( a ) a força de tração F C D no cabo em função do ângulo θ ;

( b ) o valor de θ para o qual a força F C D é mínima;

& ( c ) a densidade de energia de deformação u no cabo quando F C D é mínima.

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Passo 1

O que está acontecendo?

A estrutura A B D traciona o cabo de aço com uma força F C D .

O cabo reage a essa tração fazendo uma força de mesma intensidade F C D que contribui para o equilíbrio da estrutura, como mostra o Diagrama de Corpo Livre da estrutura:

Aplicando as condições de equilíbrio nessa estrutura A B D , é possível encontrar uma expressão para a força F C D em função do peso P e do ângulo θ , respondendo assim o item ( a ) .

Em seguida, para responder o item ( b ) , vamos ter que usar a propriedade que vimos em cálculo que diz que os máximos e mínimos de uma função ocorrem quando a sua derivada é igual a zero.

Por fim, para resolver o item ( c ) , vamos ter que utilizar o valor encontrado para θ no item anterior para encontrar a força F C D mínima.

Com isso, vamos poder calcular a tensão normal média σ = N / A no cabo de aço, e, em seguida, calcular a densidade de energia de deformação u = 1 / 2 σ ε .

Passo 2

Começando pelo item ( a ) :

Para encontrar a força F C D em função do ângulo θ , vamos ter que observar o Diagrama de Corpo Livre da estrutura A B D :

E aplicar as condições de equilíbrio para essa estrutura.

Então vamos pensar...

A condição de equilíbrio que nos permite encontrar F C D sem que a gente tenha que se preocupar em calcular as reações no apoio em A ( H A e V A ) vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação ao ponto A , já conseguimos ver que o peso P vai gerar um momento no sentido horário ( - ) com um braço L .

Quanto a força F C D , fica difícil visualizar o braço do momento que ela vai gerar uma vez que ela é uma força inclinada.

Para facilitar nossa vida, podemos decompor F C D em uma componente horizontal F C D x e uma componente vertical F C D y :

Pensando assim, vamos ter que, em relação ao ponto A :

  • A força F C D x vai gerar um momento no sentido anti-horário ( + ) com um braço ( 3 / 3 ) L ;
  • E a força F C D y vai gerar outro momento no sentido anti-horário ( + ), mas com um braço L .

Agora que entendemos como vão ficar os momentos em relação ao ponto A , podemos fazer o somatório de momentos, que fica assim:

∑ M A = 0

- P L + F C D x 3 3 L + F C D y L = 0

Dividindo tudo por L e passando P para o outro lado, temos que:

3 3 F C D x + F C D y = P

Substituindo F C D x = F C D cos ⁡ θ e F C D y = F C D sen ⁡ θ :

3 3 F C D cos ⁡ θ + F C D sen ⁡ θ = P

Tirando F C D em evidência: