Exercícios Resolvidos de Método da integração

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Enunciado

Determine as 4 equações que determinam as reações nos apoios A e B . Considere E I constante.

Passo 1

Fala, galera!!!

Novamente temos um problema onde a viga está estaticamente indeterminada (possui 4 reaçoes e 3 equações da estática) e vamos ter de utilizar a equação da linha elástica como a nossa 4ª equação.

E I . d 2 y d x 2 = M

Nesse problema em específico a carga uniforme começa a partir da distância a então vai ser muito útil que utilizemos funções de descontinuidade para isso!

Vamos ver como isso vai ficar!!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = w ( L - a )

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M 0 - w L - a a + L - a 2 + ( B y × L ) = 0

M 0 - w L - a a + L + ( B y × L ) = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Então a gente precisa da equação do momento fletor M . Vamos utilizar equações de descontinuidade e para isso fica mais fácil se fizermos a equação do carregamento primeiro:

w x = w x - a

Para achar a força cortante vamos integrar:

V x = - ∫ w x   d x

V x = - ∫ w x - a   d x

V x = - w 2 x - a 2 + C 1

Onde

C 1 = A y

Logo,

V x = - w 2 x - a 2 + A y

Agora é só integrar e achar o momento

M = ∫ V ( x )   d x

M = ∫ - w 2 x - a 2 + A y     d x

M = - w 6 x - a 3 + A y . x + C 1

Onde C 1 é o momento no engaste

C 1 = M 0

Assim vamos ter:

M = - w 6 x - a 3 + A y . x + M 0

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = - w 6 x - a 3 + A y . x + M 0

Agora vamos derivar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ - w 6 x - a 3 + A y . x + M 0   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = - w 24 x - a 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ - w 24 x - a 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3   d x  

y = - w 120 x - a 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2 + C 3 . x + C 4

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = L → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = - w 120 x - a 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2 + C 3 . x + C 4

    Substituindo

    0 = A y 6 . 0 3 + M 0 2 . 0 2 + C 3 . 0 + C 4

    C 4 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = - w 24 x - a 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não a da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I . 0 = A y 2 . 0 2 + M 0 . 0 + C 3  

    C 3 = 0

  • x = L → y = 0

y = - w 120 ( x - a ) 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2

0 = - w 120 ( L - a ) 5 + A y 6 . L 3 + M 0 2 . L 2

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = w ( L - a )

A x = 0

M 0 - w L - a a + L + ( B y × L ) = 0

0 = - w 120 ( L - a ) 5 + A y 6 . L 3 + M 0 2 . L 2

Resposta

A y + B y = w ( L - a )

A x = 0

M 0 - w L - a a + L + ( B y × L ) = 0

0 = - w 120 ( L - a ) 5 + A y 6 . L 3 + M 0 2 . L 2

A x = 0

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