Exercícios Resolvidos de Método da integração

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B ; em seguida, trace o diagrama de momento fletor. Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos resolver um exercício de vigas e eixos estaticamente indeterminados uhullll!!

O mais importante nesse problema é entender que ele não pode ser resolvido apenas pelas equações da estática porque é um problema hiperestático (tem um engaste e um apoio), então vamos utilizar a equação da linha elástica também, belezinha?

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre para entender como as reações são nesta questão e achar 3 equações. Depois a gente vai utilizar a equação da linha elástica como a nossa 4ª equação.

Então partiu!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 0

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M 0 + ( B y × 5 ) + 10 = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica, que é a parte mais legal da questão!

Boa que usou meme!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Onde M é a equação do momento fletor. Então a gente precisa saber como o momento fletor se comporta nessa viga. Nós vamos fazer isso pelo método convencional das seções, belezinha?

Então fazendo um corte nessa viga vamos ter:

Pessoal, como queremos apenas o momento fletor então a gente parte direto para a equação do somatório dos momentos. Além disso para não precisar calcular o valor da força cortante vamos considerar o ponto de aplicação bem no corte:

∑ M = 0

M 0 - A y × x + M = 0

M = A y   .     x - M 0

Pronto! Acabamos de achar a equação do momento fletor!

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = A y   .     x - M 0

Agora vamos integrar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ A y   .     x - M 0   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = A y x 2 2 - M 0 x + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ A y x 2 2 - M 0 x + C 1   d x  

y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = 5   m → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

    0 = A y 0 3 6 - M 0 0 2 2 + C 1 0 + C 2

    C 2 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = A y x 2 2 - M 0 x + C 1  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não a da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I θ = A y x 2 2 - M 0 x + C 1

    E I 0 = A y 0 2 2 - M 0 . 0 + C 1  

    C 1 = 0

  • x = 5   m → y = 0

y = A y x 3 6 - M 0 x 2 2

0 = A y ( 5 ) 3 6 - M 0 ( 5 ) 2 2

0 = 5 A y 6 - M 0 2

A y = 3 5 M 0

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = 0

A x = 0

M 0 + ( B y × 5 ) + 10 = 0

A y = 3 5 M 0

Resolvendo nós vamos ter que:

B y = - A y = - 3 5 M 0

Substituindo na 3ª equação:

M 0 + ( - 3 5 M 0 × 5 ) + 10 = 0

M 0 - 3 M 0 + 10 = 0

Portanto vamos ter:

M 0 = 5   k N . m

A y = 3   k N

B y = - 3 k N

A x = 0

Passo 7

O problema também pediu para traçarmos o diagrama do momento fletor né? Se a gente já tem a equação, que foi achada no passo 3:

M = M 0 - A y   .     x

Substituindo os valores:

M = 5 - 3   .     x

No diagrama vai ficar da forma:

Resposta

Reações:

M 0 = 5   k N . m

A y = 3   k N

B y = - 3 k N

A x = 0

Diagrama:

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