Exercícios Resolvidos de Método da integração

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Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B ; em seguida, trace o diagrama de momento fletor. Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos resolver mais um probleminha de vigas estaticamente indeterminadas. Dessa vez uma força pontual atua na nossa viga e queremos achar as reações e fazer o momento fletor.

Para isso vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da nossa viga e achar a equação do momento fletor.

Com a equação do momento fletor nós vamos achar a equação da linha elástica

E I . d 2 y d x 2 = M

E com essa nova equação vamos poder resolver o sistema que antes era indeterminado.

Então partiu!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre:

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 2 0

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M A - ( 20 × 2 ) + ( B y × 10 ) = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica. Essa é a parte mais crucial da questão!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Então a gente precisa da equação do momento fletor M . Utilizando funções de descontinuidade equação vai ser mais ou menos assim:

M = M A - A y . x + 20 x - 2 1

Mas como que chegamos nessa equação tão rápido? Vem comigo que vou explicar termo a termo:

  • M A é o valor inicial do momento, sempre que temos um engaste a gente tem que adicionar o valor do momento relativo ao próprio engaste.
  • - A y . x é o termo relativo à força cortante. O sinal negativo aparece porque essa força ameniza o momento fletor, vale A y porque a cortante entre 0   e   2 vale A y e temos o termo x porque ela aumenta sua intensidade conforme anda na barra.
  • 20 x - 2 1 é o termo relativo ao momento da força pontual que começa a aparecer apenas depois de x = 2 .

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = M A - A y . x + 20 x - 2 1

Agora vamos derivar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ M A - A y . x + 20 x - 2 1   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1   d x  

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3 + C 1 . x + C 2

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = 10   m → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3 + C 1 . x + C 2

    Como x < 2

    y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + C 1 . x + C 2

    Substituindo

    0 = M A 2 . 0 2 - A y 6 . 0 3 + C 1 . 0 + C 2

    C 2 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + 10 x - 2 2 + C 1  

    Como x < 2

    E I d y d x = M A . x - A y 2 . x 2 + C 1  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não a da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I . 0 = M A . 0 - A y 2 . 0 2 + C 1  

    C 1 = 0

  • x = 10   m → y = 0

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 x - 2 3

Agora x > 2 então:

y = M A 2 . x 2 - A y 6 . x 3 + 10 3 ( x - 2 ) 3

Substituindo

0 = M A 2 . 10 2 - A y 6 . 10 3 + 10 3 ( 10 - 2 ) 3

0 = 50 M A - 1000 A y 6 + 512 0 3

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = 20

A x = 0

M A - ( 20 × 2 ) + ( B y × 10 ) = 0

0 = 50 M A - 1000 A y 6 + 5120 3

Resolvendo nós vamos ter que:

M A = 28,8   k N . m

A y = 18,9   k N

B y = 1,1   k N

A x = 0

Passo 7

O problema também pediu para traçarmos o diagrama do momento fletor né? Se a gente já tem a equação, que foi achada no passo 3:

M = M A - A y . x + 20 x - 2 1

Substituindo os valores:

M = 28,8 - 18,9 . x + 20 x - 2 1

No diagrama vai ficar da forma:

Resposta

Reações:

M A = 28,8   k N . m

A y = 18,9   k N

B y = 1,1   k N

A x = 0

Diagrama:

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