Exercícios Resolvidos de Método da integração

Ver Teoria

Enunciado

Determine as reações nos apoios A e B , considerando o carregamento triangular imposto. Considere E I constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Vamos resolver mais um probleminha de vigas indeterminadas.

Toda a questão vai girar entorno de dois pontos: o primeiro são as 3 equações da estática e o segundo a 4ª equação, proveniente da linha elástica. Com essas 4 equações é possível achar todas as reações dos apoios.

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre já considerando a carga triangular como uma carga pontual, para isso a gente tem que lembrar que:

F c o n c e n t r a d a = 50 + 0 2 × 6 = 150   k N

E que essa força atua no centro geométrico do triângulo ( 1 / 3   × 6 )

Observe que existem 4 reações e por isso que precisamos de 4 equações também. De qualquer forma vamos escrever as equações da estática para ver o que temos:

  1. Para o eixo vertical:
  2. ∑ F y = 0

    A y + B y = 150

  3. Para o eixo horizontal:
  4. ∑ F x = 0

    A x = 0

  5. Para o momento:

∑ M = 0

Aqui vamos aplicar o momento em relação ao ponto A e considerar o sentido anti-horário positivo.

M 0 - 150 × 1 3 × 6 + ( B y × 6 ) = 0

M 0 - 300 + 6 B y = 0

Percebam que a única força que podemos achar com essas equações é a força A x , que é nula, fora isso não temos mais muito o que fazer. Então partiu pra linha elástica!

Passo 3

Agora vamos achar a equação da linha elástica!

Para achar a linha elástica a gente precisa lembrar da equação, caso você não lembre é essa aqui:

E I d y 2 d x 2 = M

Onde M é a equação do momento fletor. Para achar a equação do momento vamos utilizar funções descontinuas começando pela equação do carregamento:

w x = 50 - 50 6 x

Integrando para achar a força cortante:

V x = - ∫ w x   d x

V x = - ∫ 50 - 50 6 x   d x

V x = - 50 x + 50 12 x 2 + C 1

Onde

C 1 = A y

V x = - 50 x + 50 12 x 2 + A y

Agora vamos integrar novamente

M x = ∫ V x   d x

M x = ∫ - 50 x + 50 12 x 2 + A y   d x

M x = - 50 2 x 2 + 50 36 x 3 + A y . x + C 2

Onde

C 2 = M 0

Obtendo

M = - 50 2 x 2 + 50 36 x 3 + A y . x + M 0

Passo 4

Vamos substituir a equação do momento fletor lá na nossa equação da linha elástica!

E I d y 2 d x 2 = M

E I d y 2 d x 2 = - 50 2 x 2 + 50 36 x 3 + A y . x + M 0

Agora vamos derivar a primeira vez

∫ E I d y 2 d x 2 = ∫ - 50 2 x 2 + 50 36 x 3 + A y . x + M 0   d x  

lembrando que o valor E I é uma constante.

E I d y d x = - 50 6 x 3 + 50 144 x 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3  

Pessoal, essa é a equação da angulação belezinha? Lembrem-se θ = d y / d x !

Continuando vamos fazer a segunda integração.

∫ E I d y d x = ∫ - 50 6 x 3 + 50 144 x 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3     d x  

y = - 50 24 x 4 + 50 720 x 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2 + C 3 . x + C 4  

Show de bola! Achamos nossa equação da linha elástica mas ainda temos de achar o valor das constantes C 3 e C 4 . Para isso vamos utilizar as condições de contorno relativos aos apoios!

Passo 5

As condições de contorno são dadas pela nossa tabelinha!

Então nós vamos ter as seguintes condições de contorno.

No engaste:

x = 0 →   y = 0

x = 0 → θ = 0

Na rótula:

x = 6   m → y = 0

Perceba que na rótula a viga está livre para rotacionar!

Belezinha! Agora é só substituir essas três condições de contorno na equação que temos da linha elástica!

  • x = 0 →   y = 0
  • y = - 50 24 x 4 + 50 720 x 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2 + C 3 . x + C 4  

    0 = - 50 24 0 4 + 50 720 0 5 + A y 6 . 0 3 + M 0 2 . 0 2 + C 3 . 0 + C 4  

    C 4 = 0

  • x = 0 → θ = 0
  • E I d y d x = - 50 6 x 3 + 50 144 x 4 + A y 2 . x 2 + M 0 . x + C 3  

    obs: Perceba que vamos utilizar a equação da angulação ( θ ) e não da deflexão ( y ). Lembre também que θ = d y / d x

    E I . 0 = - 50 6 0 3 + 50 144 0 4 + A y 2 . 0 2 + M 0 . 0 + C 3  

    C 3 = 0

  • x = 6   m → y = 0

y = - 50 24 x 4 + 50 720 x 5 + A y 6 . x 3 + M 0 2 . x 2 + C 3 . x + C 4  

0 = - 50 24 6 4 + 50 720 6 5 + A y 6 . 6 3 + M 0 2 . 6 2  

0 = - 50 24 . 36 + 50 720 . 216 + A y 6 6 + M 0 2

A y + M 0 2 = 60

Essa é a nossa 4ª equação!! Agora é só voltar nas equações do passo 2 e resolver o sistema!

Passo 6

As equações que temos então são:

A y + B y = 150

A x = 0

M 0 - 300 + 6 B y = 0

A y + M 0 2 = 1125

Resolvendo nós vamos ter:

A x = 0

A y = 120   k N

B y = 30   k N

M 0 = - 120   k N . m

Resposta

Reações:

A x = 0

A y = 120   k N

B y = 30   k N

M 0 = - 120   k N . m

Exercícios de Livros Relacionados

A viga está sujeira a carga mostrada na figura. Deremine a equação da linha elásticac
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a inclinação em A e o deslocamento em C. EI é constante
Determine o deslocamento em C e a inclinação em A da viga
Determine as reações nos apoios e a seguir trace os diagramas de força cortante e momento. EI é constante.
Determine as reações nos apoios e, em seguida, trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é constante.