Exercícios Resolvidos de Método da superposição

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Enunciado

A viga e a haste de aço A - 36 são usadas para suportar a carga de 40   k N . Se for exigido que a tensão normal admissível para o aço seja σ a d m = 125   M P a e a deflexão máxima não ultrapasse 1,25   m m , determine o menor diâmetro da haste a ser usado. A viga é retangular, com 125   m m de altura e 75   m m de espessura.

Passo 1

Galerinha linda, a primeira coisa que a gente precisa entender neste problema é que vão existir dois deslocamentos. Um referente à deflexão da viga δ 1 e outro relacionado com a tração do cabo δ 2 . Então, a gente pode representar num desenhozinho da seguinte maneira:

Por isso que faz total sentido utilizar o conceito de sobreposição, já que os deslocamentos estão sobrepostos, belezinha?

Além disso ambos estão localizados no ponto B , logo, eles devem ser, necessariamente, iguais:

δ 1 = δ 2

E vai ser por meio dessa realação que vamos conseguir resolver nosso probleminha. Partiu?

Passo 2

Pessoal, vamos começar pelo deslocamento da haste. Esse deslocamento depende das tensões trativas e é dado por:

δ 2 = F L A E

Nós, temos L = 1,5   m , E = 200   G P a (aço A - 29 ), a área A depende do diâmetro que é o que queremos calcular. Você pode até achar que a força F vale 40   k N , mas não vale beleza? Não vale porque parte dessa força serve fletir a barra e parte para tracionar a haste. Então não temos F por enquanto. Temos:

δ 2 = F ( 1,5 ) A ( 200.10 9 )

Mas repare que o problema nos diz que a tensão vale σ a d m = 125   M P a . Lembrando que:

σ = F A

A gente pode dizer que:

δ 2 = σ a d m ( 1,5 ) ( 200.10 9 )

δ 2 = 125.10 6 ( 1,5 ) ( 200.10 9 )

δ 2 = 9,375.10 - 4   m

Passo 3

Para calcular a deflexão da viga a gente pode utilizar uma das nossas tabelas:

Logo, a deflexão será:

δ 1 = P L 3 3 E I

Vamos calcular o momento de inércia rapidinho:

I = b h 3 12

I = 0,075 × 0,0125 3 12 = 1,22.10 - 5   m 4

Substituindo e lembrando que a força P é igual à força aplicada de 40 menos a parte relativa à haste F nós vamos ter:

δ 1 = ( 40 - F ) 1,2 3 3 ( 200.10 9 ) ( 1,22.10 - 5 )

Repare que novamente não temos a força que atua. Mas pode ficar tranquilo que vamos encontrar essa força agora.

Passo 4

Como as duas deflexões são iguais nós vamos ter:

δ 1 = ( 40 - F ) 1,2 3 3 ( 200.10 9 ) ( 1,22.10 - 5 ) = 9,375.10 - 4   m

Então a força será igual a:

F = 36,03   k N

Agora é só substituir essa força na equação da tensão da haste:

σ = F A

125.10 6 = 36,03.10 3 π r 2

r = 9,58   m m

Logo,

d = 19,16   m m

Resposta

d = 19,16   m m

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