Exercícios Resolvidos de Método das forças – O sistema de equações e incógnitas

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Enunciado

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 2 apoios do segundo gênero, totalizando 4 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 4 + 0 - 3 = 1  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

Passo 2

Quebrando um vinculo horizontal de algum dos apoios, teremos o seguinte modelo estrutural a ser analisado.

E veja que já chamei ele de X1

Passo 3

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 1 + 1 = 2

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

E temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

Logo em resumo temos isso aqui

Passo 4

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

δ 10

E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

δ 1 1

E como não temos um ponto 2 com hiperestático, não precisamos nos preocupar com mais nenhum termo, esse do nosso problema já está resolvido.

Ou seja, agora precisamos apenas tomar cuidado em relacionar esses caras.

Passo 5

E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

δ 1 0 + δ 11   .   X 1 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

X 1 = - δ 10 δ 11

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

X 1 = - δ 10 δ 11

Ou

δ 10 + δ 11   .   X 1 = 0

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