Exercícios Resolvidos de Método das forças – O sistema de equações e incógnitas

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Enunciado

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Fala, pessoal!! Vamos resolver um exercício aqui sobre método das forças. Esse problema não pede para acharmos o resultado final (valor das reações nos apoios), pede apenas para encontrarmos as equações que nos levarão a esse resultado, beleza?

Para achar essas equações a gente tem que lembrar de dividir esse problema hiperestático em problemas isostáticos, que são mais simples. Além disso, vamos ter de utilizar aquele conceito das deformações:

Esse conceito é a parte fundamental do nosso problema e saber utilizá-lo corretamente fará toda a diferença!

Então vamos seguir nosso passo a passo para resolver com calma.

Passo 2

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

  • Sabemos que temos 1 apoio do segundo gênero e 1 do terceiro gênero, totalizando 5 incógnitas externas
  • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
  • Temos 3 equações de equilíbrio
  • Não temos rótulas

n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 5 + 0 - 3 = 2  

Ou seja, nossa estrutura possui um grau de hiperestaticidade, sendo assim, nós precisamos abaixar dois graus da nossa estrutura, transformando-a em uma estrutura em isostática. É exatamente isso que vamos fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática (ou seja, a nossa estrutura deve permanecer em equilíbrio, não pode cair kkkk).

Passo 3

Para obter uma estrutura isostática vamos fazer o seguinte: retirar o engaste e transformá-lo num apoio de primeiro gênero. Lembre-se que como reduzimos o nosso apoio em dois graus de estabilidade temos de adicionar os respectivos graus como reações. Sendo assim vamos ter o seguinte:

Onde os hiperestáticos são X 1 e X 2 .

Passo 4

O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar. O número de sistemas é dado pela fórmula

n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

Com isso fica bem simples determinar o nosso número de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestáticos.

Com isso teremos:

n º   d e   s i s t e m a s = 2 + 1 = 3

Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

E temos o segundo sistema, que é onde vai estar um dos hiperestáticos, o nosso X 1 .

E temos também o nosso terceiro sistema, onde teremos o nosso segundo hiperestático X 2 .

Para facilitar a visualização vamos ter:

Passo 5

Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre nos sistema 0, 1 e 2 irão se anular.

As nossas equações então vão relacionar o ponto com o sistema. Considerando o apoio da esquerda de ponto 1 e da direita de ponto 2 vamos ter.

Repare que não temos nenhuma deformação no apoio de segundo gênero, isso acontece porque esse tipo de apoio não permite deformação. Sendo assim vamos ter apenas:

δ 20

δ 21

δ 22

Agora precisamos apenas tomar cuidado em relacionar esses caras.

Passo 6

Pessoal, a gente tem que lembrar que o nosso δ é uma deformação unitária, enquanto os nossos hiperestáticos X são as cargas reais. Então a deformação real é dada pela soma de cada parte:

d e f o r m a ç ã o   r e a l = ∑ δ . X

Como dividimos o problema a soma de cada parte tem que ser igual ao problema original. Sendo assim vamos ter:

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = d e f o r m a ç ã o   r e a l   e m   x

δ ' 20 + δ ' 21 . X 1 + δ ' 22 . X 2 = d e f o r m a ç ã o   r e a l   a n g u l a r

Perceba que para o sistema zero não há hiperestático.

E como nós abrimos o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e queremos que todos os sistemas funcionem iguais, temos que garantir que o deslocamento do conjunto seja igual a zero (o deslocamento real é zero):

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

δ ' 20 + δ ' 21 . X 1 + δ ' 22 . X 2 = 0

Resposta

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

δ ' 20 + δ ' 21 . X 1 + δ ' 22 . X 2 = 0

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