Exercícios Resolvidos de Método das forças – O sistema de equações e incógnitas

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Enunciado

Para o pórtico abaixo determine o sistema de equações completo que devemos resolver para determinação dos seus esforços.

Passo 1

Para podermos saber como montar o nosso sistema, precisamos em primeiro lugar saber quantos termos nosso sistema vai ter, e já sabemos que isso vai ser dado pelo número de hiperestáticos, então o que precisamos fazer é determinar o número de hiperestáticos do nosso problema.

  • Hiperestáticos totais pelo macete
  • n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = n º   i n c o g n i t a s   e x t e r n a s + n º   i n c o g n i t a s   i n t e r n a s - n º   e q u a ç õ e s  

    • Sabemos que temos 2 apoios do terceiro gênero, totalizando 6 incógnitas externas
    • Não temos regiões fechadas, totalizando 0 incógnitas internas
    • Temos 3 equações de equilíbrio
    • Não temos rótulas

    n º   t o t a l   h i p e r e s t á t i c o s = 6 + 0 - 3 = 3  

    Ou seja, nossa estrutura possui três graus de hiperestaticidade, que se eu conseguir tirar da nossa estrutura, transforma a nossa estrutura em isostática. E bem, é exatamente isso que vou fazer, e é aqui que mora o segredo, podemos quebrar qualquer vínculo da nossa estrutura, desde que ela fique isostática.

    Passo 2

    Nesse caso devemos quebrar 3 vínculos. Vamos então quebrar os dois vínculos de momento, um em cada apoio, ainda sim precisamos quebrar mais um vínculo. Então iremos quebrar o vínculo horizontal do apoio da direita.

    E veja que já chamei eles de X1, X2 e X3

    Passo 3

    O próximo passo é bem importante, porque consiste em determinar o número de sistemas que vamos ter que trabalhar, e sabemos que o número de sistemas é dado pela fórmula

    n º   d e   s i s t e m a s = n º   d e   h i p e r e s t á t i c o s + 1

    Com isso fica bem simples determinar o nosso numero de sistemas, pois no passo anterior já determinamos o nosso número de hiperestático.

    Com isso teremos:

    n º   d e   s i s t e m a s = 3 + 1 = 4

    Sabemos que um dos sistemas é o nosso sistema principal, ou como gosto de chamar, sistema zero, onde está o nosso carregamento.

    Temos o segundo sistema, que é onde vai estar o nosso hiperestático, ou seja, o nosso X1, que podemos definir da seguinte maneira:

    E temos o terceiro sistema, que é onde vai estar o nosso segundo hiperestático, ou seja, o nosso X2, que podemos definir da seguinte maneira:

    E temos o terceiro sistema, que é onde vai estar o nosso terceiro hiperestático, ou seja, o nosso X3, que podemos definir da seguinte maneira:

    Logo em resumo temos isso aqui

    Passo 4

    Agora precisamos lembrar como definir a nossa equação, sabemos que o formato segue o seguinte padrão

    E sabemos que como liberamos a estrutura para se movimentar, sendo que ela não possuía esse movimento, precisamos garantir que o que ocorre no sistema 1, e no sistema 0 irão se anular, ou seja, podemos escrever que a deformação no ponto 1 e que ocorre no sistema 0 é dada pelo termo

    δ 10

    Mas que de maneira análoga, também temos os deslocamentos no ponto 2 e 3 no sistema zero, além do mais, também liberamos o movimento no ponto 2 e 3, ou seja, também temos que garantir que o ponto 2 e 3 irá se anular na junção de todos os sistemas, sendo assim temos que:

    δ 2 0   e   δ 3 0

    E que a deformação que é dada no mesmo ponto 1 mas agora no sistema 1 pode ser escrito como:

    δ 1 1

    e que de maneira análoga, no ponto 2 e 3 , devido o carregamento 2 e 3 , também teremos deslocamentos, mas nesse caso sabemos que o carregamento dois está no nosso sistema dois e o 3 no sistema 3, sendo assim temos que:

    δ 22   e   δ 33

    E por fim temos o deslocamento causado no ponto 1 devido a carga em dois e 3, e claro, o deslocamento no ponto 2 devido a carga em 1 e 3, e por fim, o deslocamento em 3 devido as cargas em 1 e 2 , que também devem ser contabilizados afim de anular o movimento.

    δ 12 ,   δ 21 , δ 13 , δ 31 , δ 23   e   δ 32

    Passo 5

    E agora entra nosso pulo do gato, eu tenho que garantir que quando eu juntar todos os sistemas, tudo que ocorrer na junção dos sistemas deve ocorrer no sistema único hiperestático, e pra fazer isso eu só preciso resolver mais uma coisa. Eu sei quanto que vale δ 10   δ 20 porque eu tenho os carregamentos do sistema 0, mas quanto valem as outras deformações? Eu não faço ideia, mas eu sei o seguinte, se eu analisar o meu hiperestático X1 e X2 como sendo de valor unitário agindo na minha estrutura, eu consigo determinar o valor de δ 11 ,   δ 12 , δ 21 ,   δ 22   para uma carga unitária, e com isso basta eu fazer a deformação para uma carga unitária, multiplicada para a carga real, que eu tenho a deformação real, que é basicamente fazer isso aqui.

    δ 11 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 12 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 13 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 22 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 21 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 23 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 33 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 3 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 31 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 1 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    δ 32 d e f o r m a ç ã o   u n i t á r i a   .   X 2 c a r g a   r e a l = d e f o r m a ç ã o   r e a l

    E como eu abri o sistema hiperestático para um movimento que não existia, e quero que todos os sistemas funcionem iguais, eu tenho eu garantir que o conjunto seja igual a zero, ou seja:

  • Tudo referente ao ponto 1
  • δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0

  • Tudo referente ao ponto 2
  • δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0

  • Tudo referente ao ponto 2

δ 3 0 + δ 3 1   .   X 1 + δ 3 2   .   X 2 + δ 3 3   .   X 3 = 0

E podemos escrever o nosso sistema como:

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0 δ 30 + δ 31   .   X 1 + δ 32   .   X 2 + δ 33   .   X 3 = 0

E assim temos o nosso sistema a ser resolvido.

Resposta

δ 10 + δ 11   .   X 1 + δ 12   .   X 2 + δ 13   .   X 3 = 0 δ 20 + δ 21   .   X 1 + δ 22   .   X 2 + δ 23   .   X 3 = 0 δ 30 + δ 31   .   X 1 + δ 32   .   X 2 + δ 33   .   X 3 = 0

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