Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

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Enunciado

Determine a solução geral das equações diferenciais não homogênea

c ) y ' ' ' - 10 y ' ' + 41 y ' - 50 y = 5 e 5 t

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes

y ' ' ' - 10 y ' ' + 41 y ' - 50 y = 5 e 5 t

A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos = 0 do lado direito) com a solução da não homogênea

y = y h + y n h

Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim

m 3 - 10 m 2 + 41 m - 50 = 0

A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: m 1 , m 2 , m 3 (polinômio de terceira ordem). E agora?

Com as raízes é só montar nossa solução!

y = c 1 e m 1 t + c 2 e m 2 t + c 3 e m 3 t

Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso y n h = A e 5 t . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse A !

Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução homogênea em termos das constantes mesmo!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Precisamos resolver a homogênea associada

m 3 - 10 m 2 + 41 m - 50 = 0

Aqui você pode resolver do jeito que achar melhor! Testando os divisores do termo independente, descobrimos que m = 2 é raiz, então fatorando temos

( m - 2 ) ( m 2 - 8 m + 25 ) = 0

E agora aplicar báskara para determinar as outras raizes:

m = - ( - 8 ) ± ( - 8 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 25 ) 2 ( 1 ) = 4 ± 3 i

Nossa solução é complexa, então a solução associada a ± b i é

e a t ( c 1 cos ⁡ b t + c 2 sin ⁡ b t )

a = 4 ,   b = 3 .

Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim

y = c 1 e m 1 t + e a t ( c 2 cos ⁡ b t + c 3 sin ⁡ b t )

y h = c 1 e 2 t + e 4 t ( c 2 cos ⁡ 3 t + c 3 sin ⁡ 3 t )

Bora pra parte não homogênea?

Passo 3

Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!

y ' ' ' - 10 y ' ' + 41 y ' - 50 y = 5 e 5 t

Vamos supor solução do tipo

y n h = A e 5 t

Derivando e substituindo na equação temos

y ' = 5 A e 5 t ,   y ' ' = 25 A e 5 t ,   y ' ' ' = 125 A e 5 t

Temos

125 A e 5 t - 10 . 25 A e 5 t + 41 . 5 A e 5 t - 50 . A e 5 t = 5 e 5 t

Dividindo tudo por e 5 t

1 25 A - 250 A + 205 A - 50 A = 5 → A = 1 6

Beleza? Aí nossa solução da parte não homogênea é

y n h = 1 6 e 5 t

Por fim vamos agrupar todas as soluções!

y = y h + y n h

Resgatando nosso resultado do passo anterior:

y = c 1 e 2 t + e 4 t ( c 2 cos ⁡ 3 t + c 3 sin ⁡ 3 t ) + 1 6 e 5 t

E é isso! Espero ter ajudado!

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

y = c 1 e 2 t + e 4 t ( c 2 cos ⁡ 3 t + c 3 sin ⁡ 3 t ) + 1 6 e 5 t