Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

Elaboração Própria

Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação

x ' = - 4 x - y y ' = x - 2 y

Passo 1

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = - 4 x - x '

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = - 4 x ' - x ' '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

- 4 x ' - x ' ' = x - 2 - 4 x - x '

- 4 x ' - x ' ' = x + 8 x + 2 x '

x ' ' + 6 x ' + 9 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 + 6 r + 9 = 0

r 1 = r 2 = - 3

Esse é o caso onde Δ = 0 então a solução vai ser

x ( t ) = ( C 1 + C 2 t ) e - 3 t

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = - 4 x - x '

y t = - 4 C 1 + C 2 t e - 3 t - C 1 + C 2 t e - 3 t '

y t = - 4 C 1 e - 3 t - 4 C 2 t e - 3 t - - 3 C 1 e - 3 t + C 2 e - 3 t - 3 C 2 t e - 3 t

y t = - 4 C 1 e - 3 t - 4 C 2 e - 3 t + 3 C 1 e - 3 t - C 2 e - 3 t + 3 C 2 t e - 3 t

y t = - C 1 e - 3 t - C 2 e 3 t - C 2 t e - 3 t

y t = - C 1 e - 3 t - C 2 e - 3 t ( 1 + t )

Resposta

x ( t ) = ( C 1 + C 2 t ) e - 3 t

y t = - C 1 e - 3 t - C 2 e - 3 t ( 1 + t )

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