Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III. Editora Bookman,2009. Cap 1, p 43 exercício 33.

Determine a solução geral para o sistema abaixo:

x '   = 6 x - y y ' = 5 x + 2 y

Passo 1

Vamos usar o método da eliminação aqui.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = 6 x - x '

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = 6 x ' - x ' '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

6 x ' - x ' ' = 5 x + 2 6 x - x '

6 x ' - x ' ' = 5 x + 12 x - 2 x '

x ' ' - 8 x ' + 17 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 8 r + 17 = 0

Vamos ter

Δ = 8 2 - 4.17 = 64 - 68 = - 4 < 0

As soluções da equação vão ser

r 1 = 8 + 4 i 2 = 8 + 2 i 2 = 4 + i

r 2 = 8 - 4 i 2 = 4 - 2 i 2 = 4 - i

Nós vimos que a solução quando < 0   é

x t = C 1 e α t c o s β t + C 2 e α t s e n β t

No nosso caso, α = 4 e β = 1

Então

x t = C 1 e 4 t c o s t + C 2 e 4 t s e n t

x t = e 4 t ( C 1 c o s t + C 2 s e n t )

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = 6 x - x '

y t = 6 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t '

y t = 6 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - 4 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t ( - C 1 s e n t + C 2 c o s t )

y t = 2 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t ( - C 1 s e n t + C 2 c o s t )

Resposta

x t = e 4 t ( C 1 c o s t + C 2 s e n t )

y t = 2 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t ( - C 1 s e n t + C 2 c o s t )

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