Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 157, exemplo 10 adaptado.

Resolva o sistema linear:

10 x + 2 y + z =   7 x + 5 y + z =     - 8   2 x + 3 y + 10 z =     6

Pelo método de Gauss-Jacobi com x 0 y 0 z 0 = 0.7 - 1.6 0.6 e ε = 5 × 10 - 2

Passo 1

Já que é para resolver, bora achar as equações de iteração. Pra isso, basta a gente isolar na primeira equação o x , na segunda o y   e na terceira o z .  

10 x + 2 y + z =   7 x + 5 y + z =     - 8   2 x + 3 y + 10 z =     6

x k + 1 = 0.7 - 0.2 y k - 0.1 z k

y k + 1 = - 1.6 - 0.2 x k - 0.2 z k

z k + 1 = 0.6 - 0.2 x k - 0.3 y k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Iteração 1:

x 0 y 0 z 0 = 0.7 - 1.6 0.6

x 1 = 0.7 - 0.2 * - 1.6 - 0.1 * 0.6 = 0.96

y 1 = - 1.6 - 0.2 * 0.7 - 0.2 * 0.6 = - 1.86

z 1 = 0.6 - 0.2 * 0.7 - 0.3 * - 1.6 = 0.94

x 1 y 1 z 1 = 0.96 - 1.86 0.94

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = 0.96 - 0.7 = 0.26 > ε

Deu ruim logo de cara hein!! Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 0.7 - 0.2 * - 1.86 - 0.1 * 0.94 = 0.978

y 2 = - 1.6 - 0.2 * 0.96 - 0.2 * 0.94 = - 1.98

z 2 = 0.6 - 0.2 * 0.96 - 0.3 * - 1.86 = 0.966

x 2 y 2 z 2 = 0.978 - 1.98 0.966

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | 0.978 - 0.96 | = 0.018 < ε

| y 2 - y 1 | = | - 1.98 + 1.86 | = 0.12 > ε

Puuutz furou no segundo =(

Bora fazer mais iterações!!

Iteração 3:

x 3 = 0.7 - 0.2 * - 1.98 - 0.1 * 0.966 = 0.9999

y 3 = - 1.6 - 0.2 * 0.978 - 0.2 * 0.966 = - 1.9889

z 3 = 0.6 - 0.2 * 0.978 - 0.3 * - 1.98 = 0.9984

x 3 y 3 z 3 = 0.9999 - 1.9889 0.9984

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 3 - x 2 | = | 0.9994 - 0.978 | = 0.021 < ε

| y 3 - y 2 | = | - 1.98888 + 1.98 | = 0.008 < ε

| z 3 - z 2 | = | 0.9984 - 0.966 | = 0.0324 < ε

AEEEEW ATÉ QUE ENFIM!!!

Resposta

x y z = 0.9994 - 1.9888 0.9984

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