Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Lista 3 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 6 adaptada

Sejam

A = 3 1 1 2 4 - 1 - 1 1 3 ; b = 2 - 2 - 5

a Mostre que o método de Gauss-Jacobi converge para A x = b .

b Resolva A x = b usando Gauss-Jacobi com três dígitos de precisão e aproximação inicial x 0 = 1.3 , - 1.3 , - 0.8 .

Passo 1

Aplicando o critério das linhas temos:

α 1 = 2 3 < 1

α 2 = 3 4 < 1

α 3 = 2 3 < 1

Então, o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 2 - x 2 k - x 3 k 3

x 2 k + 1 = - 2 - 2 x 1 k + x 3 k 4

x 3 k + 1 = - 5 + x 1 k - x 2 k 3

E temos x 0 = x 1 0 , x 2 0 , x 3 0 = 1.3 , - 1.3 , - 0.8

E como queremos três dígitos de precisão vamos usar ε = 0.001 . Assim garantimos que as três primeiras casas decimais estarão corretas.

Iteração 1 :

x 1 1 = 2 - x 2 0 - x 3 0 3

x 1 1 = 1.3667

x 2 1 = - 2 - 2 x 1 0 + x 3 0 4

x 2 1 = - 1.35

x 3 1 = - 5 + x 1 0 - x 2 0 3

x 3 1 = - 0.8

Então temos x 1 = 1.3667 , - 1.35 , - 0.8 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.0667 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 2 - x 2 1 - x 3 1 3

x 1 2 = 1.3833

x 2 2 = - 2 - 2 x 1 1 + x 3 1 4

x 2 2 = - 1.3834

x 3 2 = - 5 + x 1 1 - x 2 1 3

x 3 2 = - 0.7611

Então temos x 2 = 1.3833 , - 1.3834 , - 0.7611 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.0166 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 2 - x 2 2 - x 3 2 3

x 1 3 = 1.3815

x 2 3 = - 2 - 2 x 1 2 + x 3 2 4

x 2 3 = - 1.3819

x 3 3 = - 5 + x 1 2 - x 2 2 3

x 3 3 = - 0.7444

Então temos x 3 = 1.3815 , - 1.3819 , - 0.7444 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.0018 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 2 - x 2 3 - x 3 3 3

x 1 4 = 1.3754

x 2 4 = - 2 - 2 x 1 3 + x 3 3 4

x 2 4 = - 1.3769

x 3 4 = - 5 + x 1 3 - x 2 3 3

x 3 4 = - 0.7455

Então temos x 4 = 1.3754 , - 1.3769 , - 0.7455 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.0061 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 2 - x 2 4 - x 3 4 3

x 1 5 = 1.3741

x 2 5 = - 2 - 2 x 1 4 + x 3 4 4

x 2 5 = - 1.3741

x 3 5 = - 5 + x 1 4 - x 2 4 3

x 3 5 = - 0.7492

Então temos x 5 = 1.3741 , - 1.3741 , - 0.7492 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.0013 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 2 - x 2 5 - x 3 5 3

x 1 6 = 1.3744

x 2 6 = - 2 - 2 x 1 5 + x 3 5 4

x 2 6 = - 1.3744

x 3 6 = - 5 + x 1 5 - x 2 5 3

x 3 6 = - 0.7506

Então temos x 6 = 1.3744 , - 1.3744 , - 0.7506 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.0003 < ε

x 2 6 - x 2 5 = 0.0003 < ε

x 3 6 - x 3 5 = 0.0014 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 7 :

x 1 7 = 2 - x 2 6 - x 3 6 3

x 1 7 = 1.375

x 2 7 = - 2 - 2 x 1 6 + x 3 6 4

x 2 7 = - 1.3749

x 3 7 = - 5 + x 1 6 - x 2 6 3

x 3 7 = - 0.7504

Então temos x 7 = 1.375 , - 1.3749 , - 0.7504 .

Critério de Parada:

x 1 7 - x 1 6 = 0.0006 < ε

x 2 7 - x 2 6 = 0.0005 < ε

x 3 7 - x 3 6 = 0.0002 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1.375 , - 1.3749 , - 0.7504

Resposta

b x = 1.375 , - 1.3749 , - 0.7504

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