Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Lista de Exercícios – FEI (Adaptado)

Resolva o sistema linear:

4 x + y + 2 z =     1       x + 4 y + 2 z =     1 2 x + y + 4 z =       1  

Pelo método de Gauss-Jacobi com x 0 y 0 z 0 = 0.2 0.2 0.2 e ε = 2 × 10 - 2

Passo 1

A primeira coisa a se fazer vai ser achar as equações de iteração. Pra isso, basta a gente isolar na primeira equação o x , na segunda o y   e na terceira o z .  

x k + 1 = 0.25 - 0.25 y k - 0.5 z k

y k + 1 = 0.25 - 0.25 x k - 0.5 z k

z k + 1 = 0.25 - 0.5 x k - 0.25 y k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Iteração 1:

x 0 y 0 z 0 = 0.2 0.2 0.2

x 1 = 0.25 - 0.25 * 0.2 - 0.5 * 0.2 = 0.1

y 1 = 0.25 - 0.25 * 0.2 - 0.5 * 0.2 = 0.1

z 1 = 0.25 - 0.5 * 0.2 - 0.25 * 0.2 = 0.1

x 1 y 1 z 1 = 0.1 0.1 0.1

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 1 - x 0 | = 0.2 - 0.1 = 0.1 > ε

Deu ruim logo de cara hein!! Então precisamos de mais iterações.

Iteração 2:

x 2 = 0.25 - 0.25 * 0.1 - 0.5 * 0.1 = 0.175

y 2 = 0.25 - 0.25 * 0.1 - 0.5 * 0.1 = 0.175

z 2 = 0.25 - 0.5 * 0.1 - 0.25 * 0.1 = 0.175

x 2 y 2 z 2 = 0.175 0.175 0.175

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 2 - x 1 | = | 0.175 - 0.1 | = 0.075 > ε

Puuutz furou no segundo =(

Bora fazer mais iterações!!

Iteração 3:

x 3 = 0.25 - 0.25 * 0.175 - 0.5 * 0.175 = 0.1188

y 3 = 0.25 - 0.25 * 0.175 - 0.5 * 0.175 = 0.1188

z 3 = 0.25 - 0.5 * 0.175 - 0.25 * 0.175 = 0.1188

x 3 y 3 z 3 = 0.1188 0.1188 0.1188

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 3 - x 2 | = | 0.1188 - 0.175 | = 0.056 > ε

Iteração 4:

x 4 = 0.25 - 0.25 * 0.1188 - 0.5 * 0.1188 = 0.1609

y 4 = 0.25 - 0.25 * 0.1188 - 0.5 * 0.1188 = 0.1609

z 4 = 0.25 - 0.5 * 0.1188 - 0.25 * 0.1188 = 0.1609

x 4 y 4 z 4 = 0.1609 0.1609 0.1609

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 4 - x 3 | = | 0.1609 - 0.1188 | = 0.042 > ε

MEU DEUS QUE LOUCURAAAA, ainda não acabou....BORA FAZEr Mais uma ITERAÇão

Iteração 5:

x 5 = 0.25 - 0.25 * 0.1609 - 0.5 * 0.1609 = 0.1293

y 5 = 0.25 - 0.25 * 0.1609 - 0.5 * 0.1609 = 0.1293

z 5 = 0.25 - 0.5 * 0.1609 - 0.25 * 0.1609 = 0.1293

x 5 y 5 z 5 = 0.1293 0.1293 0.1293

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 5 - x 4 | = | 0.1293 - 0.1609 | = 0.03 > ε

Precisa mais uma iteração malukooo

Iteração 6:

x 6 = 0.25 - 0.25 * 0.1293 - 0.5 * 0.1293 = 0.153

y 6 = 0.25 - 0.25 * 0.1293 - 0.5 * 0.1293 = 0.153

z 6 = 0.25 - 0.5 * 0.1293 - 0.25 * 0.1293 = 0.153

x 6 y 6 z 6 = 0.153 0.153 0.153

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 6 - x 5 | = | 0.153 - 0.1293 | = 0.024 > ε

Tá quaaaase, QUE QUE A GENTE FEZ PRA MERECER ISSOOOO?

Iteração 7:

x 7 = 0.25 - 0.25 * 0.153 - 0.5 * 0.153 = 0.135

y 7 = 0.25 - 0.25 * 0.153 - 0.5 * 0.153 = 0.135

z 7 = 0.25 - 0.5 * 0.153 - 0.25 * 0.153 = 0.135

x 7 y 7 z 7 = 0.135 0.135 0.135

Será que já podemos parar?

Critério de Parada:

| x 7 - x 6 | = | 0.135 - 0.153 | = 0.017 < ε

BATEEEU ....BATEUUU, atendeu o critério de parada

Resposta

x y z = 0.135 0.135 0.135

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