Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 460, exercício 5 adaptado.

Use o método de Gauss-Jacobi para resolver os sistemas abaixo utilizando x 0 = 0 e ε = 0.01 .

a 3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 3 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 = 0 3 x 1 + 3 x 2 + 7 x 3 = 4

b 10 x 1 - x 2     = 9 - x 1 + 10 x 2 - 2 x 3 = 7   - 2 x 2 + 10 x 3 = 6

Passo 1

a As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k - x 3 k 3

x 2 k + 1 = - 3 x 1 k - 2 x 3 k 6

x 3 k + 1 = 4 - 3 x 1 k - 3 x 2 k 7

Como aproximação inicial temos x 0 = 0 , 0,0 e ε = 0.01 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 - x 3 0 3

x 1 1 = 0.333

x 2 1 = - 3 x 1 0 - 2 x 3 0 6

x 2 1 = 0

x 3 1 = 4 - 3 x 1 0 - 3 x 2 0 7

x 3 1 = 0.571

Então temos x 1 = 0.333,0 , 0.571 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0 . 333 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 - x 3 1 3

x 1 2 = 0.143

x 2 2 = - 3 x 1 1 - 2 x 3 1 6

x 2 1 = - 0.357

x 3 2 = 4 - 3 x 1 1 - 3 x 2 1 7

x 3 2 = 0.429

Então temos x 2 = 0.143 , - 0.357,0.429 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.19 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 1 + x 2 2 - x 3 2 3

x 1 3 = 0.071

x 2 3 = - 3 x 1 2 - 2 x 3 2 6

x 2 3 = - 0.214

x 3 3 = 4 - 3 x 1 2 - 3 x 2 2 7

x 3 3 = 0.663

Então temos x 3 = 0.071 , - 0.214,0.663 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.071 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 1 + x 2 3 - x 3 3 3

x 1 4 = 0.041

x 2 4 = - 3 x 1 3 - 2 x 3 3 6

x 2 4 = - 0.257

x 3 4 = 4 - 3 x 1 3 - 3 x 2 3 7

x 3 4 = 0.633

Então temos x 4 = 0.041 , - 0.257,0.633 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.031 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 1 + x 2 4 - x 3 4 3

x 1 5 = 0.037

x 2 5 = - 3 x 1 4 - 2 x 3 4 6

x 2 5 = - 0.231

x 3 5 = 4 - 3 x 1 4 - 3 x 2 4 7

x 3 5 = 0.664

Então temos x 5 = 0.037 , - 0.231 , 0.664 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.00 4 < ε

x 2 5 - x 2 4 = 0.0 3 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 1 + x 2 5 - x 3 5 3

x 1 6 = 0.035

x 2 6 = - 3 x 1 5 - 2 x 3 5 6

x 2 6 = - 0.24

x 3 6 = 4 - 3 x 1 5 - 3 x 2 5 7

x 3 6 = 0.655

Então temos x 6 = 0.035 , - 0.2 4,0.655 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.002 < ε

x 2 6 - x 2 5 = 0.008 < ε

x 3 6 - x 3 5 = 0.009 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 0.035 , - 0.2 4,0.655

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 9 + x 2 k 10

x 2 k + 1 = 7 + x 1 k + 2 x 3 k 10

x 3 k + 1 = 6 + 2 x 2 k 10

x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.01 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 9 + x 2 0 10

x 1 1 = 0 . 9

x 2 1 = 7 + x 1 0 + 2 x 3 0 10

x 2 1 = 0 . 7

x 3 1 = 6 + 2 x 2 0 10

x 3 1 = 0 . 6

Então temos x 1 = 0.9 ,   0.7 ,   0.6 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.9 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 9 + x 2 1 10

x 1 2 = 0.97

x 2 2 = 7 + x 1 1 + 2 x 3 1 10

x 2 1 = 0.91

x 3 2 = 6 + 2 x 2 1 10

x 3 2 = 0.74

Então temos x 2 = 0.97 ,   0.9 1 ,   0.74 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0 . 07 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 9 + x 2 2 10

x 1 3 = 0.991

x 2 3 = 7 + x 1 2 + 2 x 3 2 10

x 2 3 = 0.945

x 3 3 = 6 + 2 x 2 2 10

x 3 3 = 0.782

Então temos x 3 = 0.991 ,   0.945 ,   0.782 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.021 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 9 + x 2 3 10

x 1 4 = 0.99 5

x 2 4 = 7 + x 1 3 + 2 x 3 3 10

x 2 4 = 0.95 6

x 3 4 = 6 + 2 x 2 3 10

x 3 4 = 0.789

Então temos x 4 = 0.99 5 ,   0.95 6 ,   0.78 9 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.004 < ε

x 2 4 - x 2 3 = 0.0 11 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 9 + x 2 4 10

x 1 5 = 0.996

x 2 5 = 7 + x 1 4 + 2 x 3 4 10

x 2 5 = 0.957

x 3 5 = 6 + 2 x 2 4 10

x 3 5 = 0.791

Então temos x 5 = 0.996,0 . 957,0.791 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.00 1 < ε

x 2 5 - x 2 4 = 0.0 01 < ε

x 3 5 - x 3 4 = 0.0 0 2 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 0.996,0.957,0.791

Resposta

a x = 0.035 , - 0.2 4,0.655

b x = 0.996,0.957,0.791

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