Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 460, exercício 6 adaptado.

Use o método de Gauss-Jacobi para resolver os sistemas abaixo utilizando x 0 = 0 e ε = 0.01 .

a 4 x 1 + x 2 - x 3 = 5 - x 1 + 3 x 2 + x 3 = - 4 2 x 1 + 2 x 2 + 5 x 3 = 1

b 4 x 1 + x 2 - x 3 + x 4 = - 2 x 1 + 4 x 2 - x 3 - x 4 = - 1 - x 1 - x 2 + 5 x 3 + x 4 = 0 x 1 - x 2 + x 3 + 3 x 4 = 1

Passo 1

a As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 5 - x 2 k + x 3 k 4

x 2 k + 1 = - 4 + x 1 k - x 3 k 3

x 3 k + 1 = 1 - 2 x 1 k - 2 x 2 k 5

Como aproximação inicial temos x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.01 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 5 - x 2 0 + x 3 0 4

x 1 1 = 1.25

x 2 1 = - 4 + x 1 0 - x 3 0 3

x 2 1 = - 1.333

x 3 1 = 1 - 2 x 1 0 - 2 x 2 0 5

x 3 1 = 0.2

Então temos x 1 = 1.25 , - 1.333,0.2 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 1.25 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 5 - x 2 1 + x 3 1 4

x 1 2 = 1.633

x 2 2 = - 4 + x 1 1 - x 3 1 3

x 2 1 = - 0.983

x 3 2 = 1 - 2 x 1 1 - 2 x 2 1 5

x 3 2 = 0.233

Então temos x 2 = 1.633 , - 0.983 , 0.429 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.383 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 5 - x 2 2 + x 3 2 4

x 1 3 = 1.554

x 2 3 = - 4 + x 1 2 - x 3 2 3

x 2 3 = - 0.867

x 3 3 = 1 - 2 x 1 2 - 2 x 2 2 5

x 3 3 = - 0.06

Então temos x 3 = 1.554 , - 0.867 , - 0.06 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.079 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 5 - x 2 3 + x 3 3 4

x 1 4 = 1.45 2

x 2 4 = - 4 + x 1 3 - x 3 3 3

x 2 4 = - 0.795

x 3 4 = 1 - 2 x 1 3 - 2 x 2 3 5

x 3 4 = - 0.075

Então temos x 4 = 1.45 2 , - 0.795 , - 0.075 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.103 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 5 - x 2 4 + x 3 4 4

x 1 5 = 1.43

x 2 5 = - 4 + x 1 4 - x 3 4 3

x 2 5 = - 0.824

x 3 5 = 1 - 2 x 1 4 - 2 x 2 4 5

x 3 5 = - 0.063

Então temos x 5 = 1.43 , - 0.824 , - 0.063 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.022 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 5 - x 2 5 + x 3 5 4

x 1 6 = 1.44

x 2 6 = - 4 + x 1 5 - x 3 5 3

x 2 6 = - 0.836

x 3 6 = 1 - 2 x 1 5 - 2 x 2 5 5

x 3 6 = - 0.042

Então temos x 6 = 1.44 , - 0.836 , - 0.042 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.0104 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 7 :

x 1 7 = 5 - x 2 6 + x 3 6 4

x 1 7 = 1.448

x 2 7 = - 4 + x 1 6 - x 3 6 3

x 2 7 = - 0.839

x 3 7 = 1 - 2 x 1 6 - 2 x 2 6 5

x 3 7 = - 0.042

Então temos x 7 = 1.448 , - 0.839 , - 0.042 .

Critério de Parada:

x 1 7 - x 1 6 = 0.008 < ε

x 2 7 - x 2 6 = 0.003 < ε

x 3 7 - x 3 6 = 0.0004 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 1.448 , - 0.839 , - 0.042

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = - 2 - x 2 k + x 3 k - x 4 k 4

x 2 k + 1 = - 1 - x 1 k + x 3 k + x 4 k 4

x 3 k + 1 = x 1 k + x 2 k - x 4 k 5

x 4 k + 1 = 1 - x 1 k + x 2 k - x 3 k 3

x 0 = 0,0 , 0 , 0 e ε = 0.01 .

Iteração 1 :

x 1 1 = - 2 - x 2 0 + x 3 0 - x 4 0 4

x 1 1 = - 0.5

x 2 1 = - 1 - x 1 0 + x 3 0 + x 4 0 4

x 2 1 = - 0.25

x 3 1 = x 1 0 + x 2 0 - x 4 0 5

x 3 1 = 0

x 4 1 = 1 - x 1 0 + x 2 0 - x 3 0 3

x 4 1 = 0.333

Então temos x 1 = 0.5 ,   - 0.25 ,   0 ,   0.333 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.5 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = - 2 - x 2 1 + x 3 1 - x 4 1 4

x 1 2 = - 0.521

x 2 2 = - 1 - x 1 1 + x 3 1 + x 4 1 4

x 2 1 = - 0.042

x 3 2 = x 1 1 + x 2 1 - x 4 1 5

x 3 2 = - 0.217

x 4 2 = 1 - x 1 1 + x 2 1 - x 3 1 3

x 4 2 = 0.417

Então temos x 2 = - 0.521 , - 0.042 , - 0.217,0.417 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.02 1 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = - 2 - x 2 2 + x 3 2 - x 4 2 4

x 1 3 = - 0.648

x 2 3 = - 1 - x 1 2 + x 3 2 + x 4 2 4

x 2 3 = - 0.07

x 3 3 = x 1 2 + x 2 2 - x 4 2 5

x 3 3 = - 0.196

x 4 3 = 1 - x 1 2 + x 2 2 - x 3 2 3

x 4 3 = 0.565

Então temos x 3 = - 0.648 , - 0.07 , - 0.196 , 0.565 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.127 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = - 2 - x 2 3 + x 3 3 - x 4 3 4

x 1 4 = - 0.673

x 2 4 = - 1 - x 1 3 + x 3 3 + x 4 3 4

x 2 4 = 0.004

x 3 4 = x 1 3 + x 2 3 - x 4 3 5

x 3 4 = - 0.257

x 4 4 = 1 - x 1 3 + x 2 3 - x 3 3 3

x 4 4 = 0.591

Então temos x 4 = - 0.673 , 0 . 004 , - 0.257 , 0.591 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.025 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = - 2 - x 2 4 + x 3 4 - x 4 4 4

x 1 5 = - 0.713

x 2 5 = - 1 - x 1 4 + x 3 4 + x 4 4 4

x 2 5 = 0.002

x 3 5 = x 1 4 + x 2 4 - x 4 4 5

x 3 5 = - 0.252

x 4 5 = 1 - x 1 4 + x 2 4 - x 3 4 3

x 4 5 = 0.645

Então temos x 5 = - 0.713 , 0 . 002 , - 0.252 , 0.645 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.04 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = - 2 - x 2 5 + x 3 5 - x 4 5 4

x 1 6 = - 0.725

x 2 6 = - 1 - x 1 5 + x 3 5 + x 4 5 4

x 2 6 = 0.026

x 3 6 = x 1 5 + x 2 5 - x 4 5 5

x 3 6 = - 0.271

x 4 6 = 1 - x 1 5 + x 2 5 - x 3 5 3

x 4 6 = 0.656

Então temos x 6 = - 0.725 , 0 . 026 , - 0.271 , 0.656 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.012 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 7 :

x 1 7 = - 2 - x 2 6 + x 3 6 - x 4 6 4

x 1 7 = - 0.738

x 2 7 = - 1 - x 1 6 + x 3 6 + x 4 6 4

x 2 7 = 0.027

x 3 7 = x 1 6 + x 2 6 - x 4 6 5

x 3 7 = - 0.271

x 4 7 = 1 - x 1 6 + x 2 6 - x 3 6 3

x 4 7 = 0.674

Então temos x 7 = - 0.738 , 0 . 027 , - 0.271 , 0.674 .

Critério de Parada:

x 1 7 - x 1 6 = 0.014 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 8 :

x 1 8 = - 2 - x 2 7 + x 3 7 - x 4 7 4

x 1 8 = - 0.743

x 2 8 = - 1 - x 1 7 + x 3 7 + x 4 7 4

x 2 8 = 0.035

x 3 8 = x 1 7 + x 2 7 - x 4 7 5

x 3 8 = - 0.277

x 4 8 = 1 - x 1 7 + x 2 7 - x 3 7 3

x 4 8 = 0.679

Então temos x 8 = - 0.743 , 0 . 035 , - 0.277 , 0.679 .

Critério de Parada:

x 1 8 - x 1 7 = 0.005 < ε

x 2 8 - x 2 7 = 0.008 < ε

x 3 8 - x 3 7 = 0.006 < ε

x 3 8 - x 3 7 = 0.005 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = - 0.743 , 0.035 , - 0.277 , 0.679

Resposta

a x = 1.448 , - 0.839 , - 0.042

b x = - 0.743 , 0.035 , - 0.277 , 0.679

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