Exercícios Resolvidos de Método de Varia��ão dos Parâmetros

UNICAMP, Cálculo 3, P2 2011.1, Professor Tozoni, Questão 3

Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores:

x ' = 1 - 1 5 - 3 x ( t )

Por conseguinte encontre a solução geral do sistema não homogêneo:

x ' = 1 - 1 5 - 3 x t + e - t 4 e - t

Passo 1

Então galerinha, um sistema de EDO, para resolver esse rapaz a gente primeiro acha os autovalores:

1 - λ - 1 5 - 3 - λ = 1 - λ - 3 - λ + 5 = - 3 - λ + 3 λ + λ 2 + 5 = λ 2 + 2 λ + 2

Vamos achar as raízes:

= 4 - 4.2 = - 4 λ 1,2 = - 2 ± - 4 2 = - 1 ± i = a ± b i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovetores, então simbora, começando com λ 1 :

1 - λ 1 - 1 5 - 3 - λ 1 c 1 c 2 = 0 0

Substituindo:

1 - ( - 1 + i ) - 1 5 - 3 - ( - 1 + i ) c 1 c 2 = 0 0

Continuando a conta

2 - i - 1 5 - 2 - i c 1 c 2 = 0 0

Multiplicando a primeira linha:

2 - i c 1 - c 2 = 0 c 2 = 2 - i c 1

Assim o auto vetor é:

v 1 = 1 2 - i = 1 2 + 0 - 1 i = a + b i

Onde:

a = 1 2   e   b = 0 - 1

Sacou??

OBS:

Olha, perceba o seguinte, eu gostaria que você mantivesse em mente o que a gente tá fazendo aqui, a primeira coisa foi supor uma solução de exponencial para resolver esse sistema, assim como fizemos na teoria foi suporte uma solução de exponencial, desenvolvendo isso achamos: 1 - λ - 1 5 - 3 - λ c 1 c 2 = 0 0

A primeira coisa é ver que pra isso não ser a solução trivial: c 1 = 0 e c 2 = 0 implica que as linhas da matriz são linear dependentes, isso implica em que o determinante dessa matriz seja 0 ! Assim achamos os autovalores, depois substituímos o resultado no sistema para achar os autovetores, fechou?! Perceba que como as linhas são linearmente dependentes, significa que elas expressam exatamente a mesma equação, tipo desse jeito:

2 x + y = 1 4 x + 2 y = 2

Sacou? Por isso sempre só pegamos uma, elas expressam a mesma coisa!

Fim do OBS

Vamos achar o segundo autovetor:

1 - λ 2 - 1 5 - 3 - λ 2 c 1 c 2 = 0 0

1 - ( - 1 - i ) - 1 5 - 3 - ( - 1 - i ) c 1 c 2 = 0 0

2 + i - 1 5 - 2 + i c 1 c 2 = 0 0

Pegando a primeira linha:

2 + i c 1 - c 2 = 0 c 2 = 2 + i c 1

Assim:

v 2 = 1 2 + i = 1 2 + 0 1 i = a - b i

Achamos os autovetores!

Passo 3

Então a solução geral para λ 1,2 complexos é:

x 1 = e a t a cos b t - b sen b t

Subtituindo v 1 e λ 1 :

x 1 = e - t 1 2 cos t - 0 - 1 sen t

Da pra juntar esses caras:

x 1 = e - t cos t 2 cos t + sen t

Vamos acha agora a segunda resposta:

x 2 = e a t a sen b t + b cos b t

Agora é só substituir v 2 e λ 2

x 2 = e - t 1 2 sen ( t ) + 0 - 1 cos ( t )

Substituindo:

x 2 = e - t 1 2 sen t + 0 - 1 cos t

Juntando esses rapazes:

x 2 = e - t sen t 2 sen t - cos t

Passo 4

Assim a solução geral da homogênea é dada por:

X h = c 1 x 1 + c 2 x 2

X h = c 1 e - t cos t 2 cos t + sen t + c 2 e - t sen t 2 sen t - cos t

Passo 5

Agora temos que achar a particular, começamos achando a matriz fundamental:

ψ t = x 1 x 2 = e - t   cos t sen t 2 cos t + sen t 2 sen t - cos t

A ideia é que a solução do sistema é dada por:

X t = ψ t u t

Nos basta achar esse u ( t ) ! Ele obedece a seguinte relação:

u ' t = ψ t - 1 . g t

A gente já sabe quem é g t = e - t 4 e - t , vamos calcular então o:

ψ t - 1 = 1 d e t ( ψ ) . e - t   2 sen t - cos t - sen t - 2 cos t - sen t cos t

Lembra que:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Ajeitando o denominador:

det ψ = e - 2 t 2 sen t . cos t - cos 2 t - 2 cos t sen t - sen 2 t = e - 2 t [ - cos 2 t - sen 2 t ] = - e - 2 t cos 2 t + sen 2 t = - e - 2 t

Então ficou:

ψ t - 1 = 1 - e - 2 t e - t   2 sen t - cos t - sen t - 2 cos t - sen t cos t

ψ t - 1 = - e t   2 sen t - cos t - sen t - 2 cos t - sen t cos t

Passo 6

Então voltando:

u ' t = ψ t - 1 . g t

Substituindo:

u ' t = - e t   2 sen t - cos t - sen t - 2 cos t - sen t cos t e - t 4 e - t = -   2 sen t - cos t - sen t - 2 cos t - sen t cos t 1 4

Multiplicando as matrizes:

u ' t = - 2 sen t - cos t - 4 sen t - 2 cos t - sen t + 4 cos t = - - 2 sen t - cos t 2 cos t - sen t

Assim:

u ' t = 2 sen t + cos t - 2 cos t + sen t

Integrando:

u t = - 2 cos t + sen t + C 1 - 2 sen t - cos t + C 2

Passo 7

Assim a solução particular é dada por:

X p = ψ t u t

X p = e - t   cos t sen t 2 cos t + sen t 2 sen t - cos t - 2 cos t + sen t + C 1 - 2 sen t - cos t + C 2

E a solução geral:

X = X h + X p

Resposta

X h = c 1 e - t cos t 2 cos t + sen t + c 2 sen t 2 sen t + cos t

X p = e - t   cos t sen t 2 cos t + sen t 2 sen t - cos t - 2 cos t + sen t + C 1 - 2 sen t - cos t + C 2

X = X h + X p

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