Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Dado que

x 1 = t 1     e     x 2 = t ln ⁡ t   1 + ln ⁡ t

são soluções do sistema homogêneo

x ' = A t x ,         A t = 0 1 - 1 / t 2 1 / t

no intervalo t > 0 , calcule a solução (dê a solução geral) do sistema não-homogêneo

x ' t = A t x t + g t ,         g t = 1 / t 0 ,   t > 0 ,

usando o método de variação dos parâmetros para sistemas.

Passo 1

O primeiro passo é verificar se as soluções são linearmente independentes.

Para isso, vamos montar a matriz fundamental!

ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

ψ t = t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t

Assim, verificamos que

W = W x 1 , x 2 = d e t ⁡ ( ψ ( t ) )

W = t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t = t + t ln ⁡ t - t ln ⁡ t = t ≠ 0 ,   ∀ t > 0

Como t ≠ 0 ,   ∀ t > 0 , as soluções x 1 , x 2 formam um conjunto fundamental de soluções (no intervalo t > 0 ).

Passo 2

Assim sendo, a solução geral do sistema homogêneo x ' = A t x é dada por

x H = ψ t . C = t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t c 1 c 2

x H = c 1 t + c 2 t ln ⁡ t c 1 + c 2 + c 2 ln ⁡ t

Passo 3

Já uma solução particular, podemos obtê-la pelo método da variação de parâmetros para sistemas. Seja

x P t = ψ t u ( t )

onde

u t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação

ψ t u ' ( t ) = g ( t )

u ' ( t ) = ψ - 1 ( t ) g ( t )

Passo 4

Beleza, sabemos que g t = 1 / t 0 . Agora, substituindo:

u 1 ' u 2 ' = t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t - 1 1 / t 0

Para a inversa, temos:

t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t - 1 = 1 W 1 + ln ⁡ t - t ln ⁡ t - 1 t  

t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t - 1 = 1 t 1 + ln ⁡ t - t ln ⁡ t - 1 t  

Passo 5

Assim, o sistema se torna

u 1 ' u 2 ' = 1 t 1 + ln ⁡ t - t ln ⁡ t - 1 t 1 / t 0

u 1 ' = 1 t 2 + ln ⁡ t t 2     ( I ) u 2 ' = - 1 t 2       ( I I )

Passo 6

Resolvendo ( I ) :

u 1 ' = 1 t 2 + ln ⁡ t t 2

u 1 = ∫       1 t 2 + ln ⁡ t t 2 d t

u 1 = ∫       1 t 2 d t + ∫       ln ⁡ t t 2 d t

A primeira é fácil,

∫       1 t 2 d t = ∫       t - 2 d t = - t - 1 + C = - 1 t + C

Mas a segunda dá trabalho... vamos aplicar integração por partes.

Sejam u = ln ⁡ t e   d v = 1 t 2 d t , então d u = 1 t d t e v = - 1 t . Substituindo:

∫       ln ⁡ t t 2 d t = ∫       ln ⁡ t ⏟ u . 1 t 2 d t ⏟ d v = u v - ∫     v   d u = ln ⁡ t - 1 t - ∫     - 1 t 1 t d t

= - 1 t ln ⁡ t + ∫       1 t 2 d t = - 1 t ln ⁡ t - 1 t + C

Logo:

u 1 = - 1 t - 1 t ln ⁡ t - 1 t + C

u 1 = - 2 t - 1 t ln ⁡ t + C

Passo 7

Resolvendo ( I I ) :

u 2 ' = - 1 t 2

u 2 = ∫       - 1 t 2 d t

u 2 = 1 t + C

Passo 8

Tomando as constantes de integração C = 0 , obtemos:

u t = - 2 t - 1 t ln ⁡ t 1 t

Portanto,

x P t = ψ t u ( t )

x P ( t ) = t t ln ⁡ t 1 1 + ln ⁡ t - 2 t - 1 t ln ⁡ t 1 t

x P ( t ) = - 2 - ln ⁡ t + ln ⁡ t - 2 t - 1 t ln ⁡ t + 1 t + 1 t ln ⁡ t

x P ( t ) = - 2 - 1 t

Passo 9

Combinando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral do problema:

x ( t ) = x H ( t ) + x P ( t )

x t = c 1 t + c 2 t ln ⁡ t c 1 + c 2 + c 2 ln ⁡ t + - 2 - 1 t

x t = c 1 t + c 2 t ln ⁡ t - 2 c 1 + c 2 + c 2 ln ⁡ t - 1 t

Resposta

x t = c 1 t + c 2 t ln ⁡ t - 2 c 1 + c 2 + c 2 ln ⁡ t - 1 t