Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Ache a solução geral do seguinte sistema de EDOs usando o método de autovetores e variação de parâmetros. Em seguida, ache a solução do PVI associado com condições iniciais dadas por x 0 = 4 e y 0 = 2 .

x ' = 9 x + 7 y + t y ' = x + 3 y - t

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de EDO!

Temos aqui um sistema de EDOs para resolver. Primeiro vamos escrever esse sistema é notação matricial:

x ' y ' = 9 7 1 3 x y + t - t

Ou ainda,

X ' = A X + B ,           X ' = x ' y ' ,           A = 9 7 1 3 ,               X = x y ,                 B = t - t

Para resolver esse sistema, primeiro consideramos o caso homogêneo (sem o vetor coluna B ) e procuramos a solução geral:

X ' = A X

Essa solução vamos chamar de X h . Para fazer isso, temos que encontrar os autovalores e autovetores de A .

Os autovalores são achados pela equação característica:

9 - λ 7 1 3 - λ = 0 → 9 - λ 3 - λ - 7 = 0

Portanto,

27 - 9 λ - 3 λ + λ 2 - 7 = 0

λ 2 - 12 λ + 20 = 0

As soluções dessa equação são

λ 1 = 2                 o u               λ 2 = 10

A solução geral da equação homogênea é

X h = c 1   V 1   e λ 1 t + c 2   V 2   e λ 2 t

X h = c 1   V 1   e 2 t + c 2   V 2   e 10 t

Nessa última expressão, V 1 e V 2 são os autovetores da matriz A associados aos autovalores λ 1 = 2 e λ 2 = 10 . Já c 1 e c 2 são as constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 2

Para achar os autovetores, lembramos que

A - λ I   V = 0

Para λ 1 = 2 :

9 - 2 7 1 3 - 2 a 1 b 1 = 0 0 → 7 a 1 + 7 b 1 = 0 a 1 + b 1 = 0

A solução desse sistema é a 1 = - b 1 , de modo que

V 1 = 1 - 1

Já para λ 2 = 10 :

9 - 10 7 1 3 - 10 a 2 b 2 = 0 0 → - a 2 + 7 b 2 = 0 a 2 - 7 b 2 = 0

Portanto, a 2 = 7 b 2 :

V 2 = 7 1

Desta forma, a solução geral da equação homogênea é

X h = c 1 1 - 1 e 2 t + c 2 7 1 e 10 t

Passo 3

Agora que nós já temos a solução da equação não homogênea, partimos para a solução do problema usando o método de variação de parâmetros.

Como foi apresentado nos resumos do RespondeAí, usando V 1 , V 2 , λ 1 e λ 2 , nós construímos a matriz fundamental:

ψ = a 1 e λ 1 t a 2 e λ 2 t b 1 e λ 1 t b 2 e λ 2 t = e 2 t 7 e 10 t - e 2 t e 10 t

Daí, encontramos o vetor u ' t :

u ' t = ψ - 1   B

Para inverter ψ usamos a fórmula:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Para ψ , temos

ψ - 1 = 1 8 e 12 t e 10 t - 7 e 10 t e 2 t e 2 t = 1 8 e - 2 t - 7 e - 2 t e - 10 t e - 10 t

Com isso,

u ' t = 1 8 e - 2 t - 7 e - 2 t e - 10 t e - 10 t ⋅ t - t = 1 8 8 t e - 2 t 0 = t e - 2 t 0

Daí, basta integrar as componentes que temos o vetor u t .

Passo 4

Para fazer a integral da primeira componente, usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Tomando u = t e d v = e - 2 t   d t , temos que

d u = d t             e         v = - 1 2 e - 2 t

Assim,

∫ t e - 2 t   d t = - t 2 e - 2 t + 1 2 ∫ e - 2 t   d t = - t 2 e - 2 t - 1 4 e - 2 t

Com isso, achamos

u t = - t 2 e - 2 t - 1 4 e - 2 t + C 1 C 2

Por fim, a solução geral do sistema de EDO é dada por

X t = ψ   u t = e 2 t 7 e 10 t - e 2 t e 10 t - t 2 e - 2 t - 1 4 e - 2 t + C 1 C 2

Fazendo os produtos, achamos

X t = - t 2 - 1 4 + C 1 e 2 t + 7 C 2 e 10 t t 2 + 1 4 - C 1 e 2 t + C 2 e 10 t = x t y t

Desta forma, a solução geral do sistema é

x t = - t 2 - 1 4 + C 1 e 2 t + 7 C 2 e 10 t             e             y t = t 2 + 1 4 - C 1 e 2 t + C 2 e 10 t

Passo 5

Agora vamos procurar C 1 e C 2 de modo que x 0 = 4 e y 0 = 2 :

4 = - 1 4 + C 1 + 7 C 2             e           2 = 1 4 - C 1 + C 2

Somando as equações:

6 = 8 C 2 → C 2 = 3 4

Portanto,

2 = 1 4 - C 1 + 3 4 → C 1 = - 1

Logo, a solução do PVI é

x t = - t 2 - 1 4 - e 2 t + 21 4 e 10 t             e             y t = t 2 + 1 4 + e 2 t + 3 4 e 10 t

Com isso finalizamos o problema 😉.

Resposta

x t = - t 2 - 1 4 + C 1 e 2 t + 7 C 2 e 10 t             e             y t = t 2 + 1 4 - C 1 e 2 t + C 2 e 10 t

x t = - t 2 - 1 4 - e 2 t + 21 4 e 10 t             e             y t = t 2 + 1 4 + e 2 t + 3 4 e 10 t