Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Considere o sistema linear não homogêneo abaixo:

X ' = 1 - 1 1 3 X + 0 e 2 t

  1. Usando o método de autovalores e autovetores, encontre a solução complementar, X c t = ψ t ∙ C , do sistema linear indicando claramente quem é a matriz fundamental ϕ t e quem é o vetor C . (Não é necessário realizar a multiplicação ψ t ∙ C )
  2. Utilizando o método da variação de parâmetros, encontre a solução particular, X p t = ψ t ∙ U t , do sistema linear não-homogêneo indicando claramente quem é o vetor U t e como é obtido. (Não é necessário realizar a multiplicação ψ t ∙ U t )

Passo 1

Vamo que vamo galera! Pra começar, a questão pede a solução complementar. Oras! Isso nada mais é do que a solução do sistema desconsiderando o vetor mais a direita. Ou seja, queremos resolver o sistema de EDOs homogêneo associado:

X ' = 1 - 1 1 3 X

Em EDO’s desse tipo, sempre vamos ter uma solução com essa cara:

X t = C 1 x 1 t + C 2 x 2 t

Colocando isso com a cara que o enunciado pediu, é como se tivéssemos uma matriz onde x 1 t e x 2 t fossem colunas dela. Essa que é a tal da matriz fundamental!

ψ t = ↑ x 1 t ↓ ↑ x 2 t ↓

Então uma outra forma de escrever a solução X t para esse sistema é:

X t = ψ t ∙ C

Onde C = C 1 C 2 é um vetor pra considerar aqueles coeficientes lá em cima, ok? Bom, identificamos quem é quem e isso era parte do enunciado hahaha mas vamos as contas mesmo agora, ok?

Passo 2

Show, precisamos usar o método de autovalores e autovetores! Então bora lá! Pra isso, seja a matriz A = 1 - 1 1 3 , fazemos:

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ - 1 1 3 - λ = 0

Calculando nossa linda determinante, chegamos em:

1 - λ 3 - λ - 1 - 1 = 0

3 - λ - 3 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

O que nada mais é do que um trinômio quadrado perfeito de λ ! Ficamos com:

λ - 2 2 = 0

λ 1 = λ 2 = λ = 2

Autovalores encontrados. Nesse caso em específico, temos dois valores reais iguais, de forma que a solução final vai ter:

x 1 t = v 1 ∙ e λ t

x 2 t = v 1 ∙ t ∙ e λ t + v 2 ∙ e λ t

Onde v 1 , v 2 são nossos autovetores associados. Bora achar eles então! O primeiro a gente encontra fazendo:

A - λ I   v 1 = 0

Encontrando então:

1 - 2 - 1 1 3 - 2 a b = 0

- 1 - 1 1 1 a b = 0 0

E galera, isso aí é o equivalente a um sistema:

- a - b = 0 a + b = 0

Que basicamente só nos diz que:

a = - b

Tudo que sabemos sobre v 1 até então é que:

v 1 = a - a = a 1 - 1

Como a no final das contas é só uma constante, não precisamos nos preocupar com ela, de forma que v 1 = 1 - 1 é o nosso vetor final, belezinha galera? Show, agora, pra achar v 2 , fazemos:

A - λ I   v 2 = v 1

Então sendo v 2 = c d , temos:

- 1 - 1 1 1 c d = 1 - 1

O que é equivalente a um sistema com essa cara:

- c - d = 1 c + d = - 1

De onde tiramos que:

d = - 1 - c

E logo, o vetor v 2 será:

v 2 = c - 1 - c = c - c + 0 - 1 = c 1 - 1 + 0 - 1

E olha só o que aconteceu! O vetor v 1 apareceu dentro da definição do v 2 . Podemos ignorar então esse pedacinho e nos preocupar somente com:

v 2 = 0 - 1

Autovetores encontrados! As soluções serão:

x 1 t = 1 - 1 ∙ e 2 t

x 2 t = 1 - 1 ∙ t ∙ e 2 t + 0 - 1 ∙ e 2 t

O que é o mesmo que:

x 1 t = e 2 t - e 2 t

x 2 t = t e 2 t - t e 2 t - e 2 t = t e 2 t - e 2 t t + 1

E tai! Fechamos a matriz fundamental:

ψ t = ↑ x 1 t ↓ ↑ x 2 t ↓ = e 2 t t e 2 t - e 2 t - e 2 t t + 1

Passo 3

Agora chegou o momento em que de fato vamos resolver:

X ' = 1 - 1 1 3 X + 0 e 2 t

X ' = A X + g t

Pra isso, o primeiro passo é resolver o homogêneo associado, que já fizemos. O segundo é usar o método da variação de parâmetros. Pra isso, tendo:

X p t = ψ t ∙ U t

Falta só a gente identificar o vetor U t . Segundo o método da variação dos parâmetros, temos:

U ' t = ψ t - 1 ∙ g t

A primeira coisa a se fazer então é inverter a matriz fundamental! Para uma matriz 2 x 2 qualquer, a inversa é encontrada fazendo:

a b c d - 1 = 1 a d - b c ∙ d - b - c a

Comparando isso com:

ψ t = e 2 t t e 2 t - e 2 t - e 2 t t + 1

Temos:

a = e 2 t b = t e 2 t c = - e 2 t d = - e 2 t t + 1

De forma que a inversa fica bonitinha dessa forma:

ψ t - 1 = 1 e 2 t - e 2 t t + 1 - t e 2 t - e 2 t ∙ - e 2 t t + 1 - t e 2 t e 2 t e 2 t

ψ t - 1 = 1 - t e 4 t - e 4 t + t e 4 t ∙ - e 2 t t + 1 - t e 2 t e 2 t e 2 t

ψ t - 1 = - 1 e 4 t ∙ - e 2 t t + 1 - t e 2 t e 2 t e 2 t

A gente pode simplificar isso ainda mais, saca só:

ψ t - 1 = e 2 t t + 1 e 4 t t e 2 t e 4 t - e 2 t e 4 t - e 2 t e 4 t = e - 2 t t + 1 t e - 2 t - e - 2 t - e - 2 t

O que nos deixa com:

U ' t = ψ t - 1 ∙ g t

U ' t = e - 2 t t + 1 t e - 2 t - e - 2 t - e - 2 t ∙ 0 e 2 t

Realizando a multiplicação matriz-vetor, temos:

U ' t = 0 ∙ e - 2 t t + 1 - e - 2 t + e 2 t ∙ t e - 2 t - e - 2 t

U ' t = 0 0 + t - 1 = t - 1

Ok, quase lá galera! Calma que falta MUITO POUCO. Olha só, achamos a derivada do vetor U t . Portanto, se:

U ' t = u 1 ' t u 2 ' t

Basta a gente integrar para achar U t :

U t = ∫ u 1 ' t d t ∫ u 2 ' t d t

No nosso caso, temos:

u 1 ' t = t u 2 ' t = - 1

O vetor vai ser então:

U t = ∫ t d t ∫ - 1 d t = t 2 2 + C 3 - t + C 4

Ufa, acabamos!

Resposta

Identificamos a Matriz Fundamental como:

ψ t = e 2 t t e 2 t - e 2 t - e 2 t t + 1

O vetor C como um vetor de constantes indeterminadas:

C = C 1 C 2

E o vetor U t como sendo:

U t = t 2 2 + C 3 - t + C 4

Dessa forma a solução complementar tem a cara:

X c t = e 2 t t e 2 t - e 2 t - e 2 t t + 1 C 1 C 2

E a solução particular tem a cara:

X P t = e 2 t t e 2 t - e 2 t - e 2 t t + 1 t 2 2 + C 3 - t + C 4