Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

a) Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo, usando autovalores e autovetores.

X ' = 4 - 1 5 - 2 X

b) Encontre uma solução particular do sistema usando variação de parâmetros e apresente a solução geral

X ' = 4 - 1 5 - 2 X + 4 e 3 t 8 e 3 t

Passo 1

a) Fala aí! Tá bem?

Tem um passo a passo a passo para gente resolver esse sistema pelo método que ele pediu. Só seguir ele direitinho, que dá bom!

Queremos achar uma solução na forma:

X t = c 1 x 1 + c 2 x 2

Para isso, a gente precisa começar achando os autovalores de A , a matriz que aparece ali no sistema:

A = 4 - 1 5 - 2

Vamos usar a equação

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz identidade. Substituindo as coisinhas que a gente tem:

4 - 1 5 - 2 - λ 0 0 λ = 0

4 - λ - 1 5 - 2 - λ = 0

Calculando esse determinante:

4 - λ - 2 - λ + 5 = 0 ∴ λ 2 - 2 λ - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau

λ 1 = 3 ,     λ 2 = - 1

Passo 2

Como nossos dois autovalores são reais e diferentes, a gente vai ter uma solução da forma:

x 1 = v 1 e λ 1 t ,     x 2 = v 2 e λ 2 t

x 1 = v 1 e 3 t ,     x 2 = v 2 e - t

Onde v 1 e v 2 são nossos autovetores, que achamos assim:

A - λ 1 I v 1 = 0 →

A - λ 2 I v 2 = 0 →

Bora achar eles!

Passo 3

Vamos começar achando v 1 . Substituimos nossos dados na equação

A - λ 1 I v 1 = 0 →

A - 3 I v 1 = 0 →

E chamamos v 1 = a 1 , b 1 . Temos:

4 - 1 5 - 2 - 3 0 0 3 a 1 b 1 = 0 0

1 - 1 5 - 5 a 1 b 1 = 0 0 ∴ a 1 - b 1 = 0 5 a 1 - 5 b 1 = 0

Essas duas equações dizem a mesma coisa para a gente:

a 1 = b 1

Aí a gente pode escolher um valor de a 1 que facilite a nossa vida, por exemplo, a 1 = 1 :

a 1 = b 1 = 1

v 1 = 1,1

Passo 4

Vamos achar v 2 . Substituindo nossos dados na equação

A - λ 2 I v 2 = 0 →

A - ( - 1 ) I v 2 = 0 →

E chamando v 1 = a 2 , b 2 . Temos:

4 - 1 5 - 2 - - 1 0 0 - 1 a 2 b 2 = 0 0

5 - 1 5 - 1 a 2 b 2 = 0 0 ∴ 5 a 2 - b 2 = 0 5 a 2 - b 2 = 0

Dessas duas equações só tiramos uma informação também:

a 2 = b 2 5

Aí a gente pode escolher um valor de b 2 que facilite a nossa vida, por exemplo, b 2 = 1 :

b 2 = 1 ,     a 2 = 1 5

v 1 = 1 5 , 1

Passo 5

Agora temos tudo para montar nossa solução geral!

X t = c 1 x 1 + c 2 x 2

x 1 = v 1 e λ 1 t ,     x 2 = v 2 e λ 2 t

X t = c 1 v 1 e λ 1 t + c 2 v 2 e λ 2 t

Como

λ 1 = 3 ,     v 1 = 1,1

λ 2 = - 1 ,     v 2 = 1 5 , 1

Aí nossa solução fica:

X t = c 1 1 1 e 3 t + c 2 1 / 5 1 e - t

Ufa! Deu tudo certo!

Passo 6

b) Queremos a solução particular para o sistema

X ' = 4 - 1 5 - 2 X + 4 e 3 t 8 e 3 t

Percebe que ele tem a mesma matriz A do anterior ali, mas ele não é homogêneo. Aí a gente diz que aquele termo ali é

g t = 4 e 3 t 8 e 3 t

Aí usamos um passo a passo para achar a solução desse sistema não homogêneo, a partir das informações que a gente tem do homogêneo.

Primeira coisa é a montar a matriz fundamental. Ela tem essa carinha:

ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

Como

X t = c 1 1 1 e 3 t + c 2 1 / 5 1 e - t

x 1 = e 3 t e 3 t ,     x 2 = e - t 5 e - t  

ψ t = e 3 t e - t 5 e 3 t e - t

Vamos seguir!

Passo 7

Pelo método de variação de parâmetros, a solução particular desse sistema vai ser:

X P t = ψ t u ( t )

onde

u t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

E para achar esse u t , a gente resolve a equação:

ψ t u ' ( t ) = g ( t )

u ' ( t ) = ψ - 1 ( t ) g ( t )

Passo 8

Beleza, sabemos que g t = 4 e 3 t 8 e 3 t . Agora, substituindo:

u 1 ' u 2 ' = e 3 t e - t 5 e 3 t e - t - 1 4 e 3 t 8 e 3 t

Para calcular a inversa, fazemos:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a  

e 3 t e - t 5 e 3 t e - t - 1 = 1 4 5 e 2 t e - t - e - t 5 - e 3 t e 3 t = 5 4 e - 2 t e - t - e - t 5 - e 3 t e 3 t  

Assim, o sistema se torna

u 1 ' u 2 ' = 5 4 e - 3 t - e - 3 t 4 - 5 e t 4 5 e t 4 4 e 3 t 8 e 3 t = 5 - 2 - 5 e 4 t + 10 e 4 t

u 1 ' = 3     ( I ) u 2 ' = 5 e 4 t       ( I I )

Passo 9

Resolvendo ( I ) :

u 1 ' = 3

u 1 = ∫       3 d t

u 1 = 3 t + C

Resolvendo ( I I ) :

u 2 ' = 5 e 4 t  

u 2 = ∫       5 e 4 t d t

u 2 = 5 4 e 4 t

Aqui a gente vai integrar sem considerar as constantes de integração, tá?

Passo 10

Obtemos:

u t = 3 t 5 4 e 4 t

Portanto,

X P t = ψ t u ( t )

X P ( t ) = e 3 t e - t 5 e 3 t e - t 3 t 5 4 e 4 t

X P t = 3 t e 3 t + e 3 t 4 3 t e 3 t + 5 4 e 3 t

Passo 11

Combinando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral do problema:

X ( t ) = X H ( t ) + X P ( t )

Temos

X H t = c 1 1 1 e 3 t + c 2 1 / 5 1 e - t = c 1 e 3 t + c 2 e - t 5 c 1 e 3 t + c 2 e - t

Aí a solução geral fica:

X t = c 1 e 3 t + c 2 e - t 5 c 1 e 3 t + c 2 e - t + 3 t e 3 t + e 3 t 4 3 t e 3 t + 5 4 e 3 t

Ufa! Deu bom!

Resposta

a) X t = c 1 1 1 e 3 t + c 2 1 / 5 1 e - t

b) X P t = 3 t e 3 t + e 3 t 4 3 t e 3 t + 5 4 e 3 t

X t = c 1 e 3 t + c 2 e - t 5 c 1 e 3 t + c 2 e - t + 3 t e 3 t + e 3 t 4 3 t e 3 t + 5 4 e 3 t