Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

( b ) Usando o método da variação dos parâmetros, encontre uma solução particular de

x ' = 4 - 2 8 - 4 x + 0 t - 2 ,       t > 0

Sabendo que x 1 = 1 2 e x 2 = t 2 t - 1 / 2 são soluções linearmente independentes do sistema homogêneo associado (no intervalo t > 0 ).

Passo 1

Para acharmos uma solução particular do problema, vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função U ( t ) , tal que a solução do sistema seja

x t = Ψ t U ( t )

onde

U t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação

Ψ t U ' ( t ) = g ( t )

U ' ( t ) = Ψ - 1 ( t ) g ( t )

Passo 2

Beleza, mas quem é a matriz fundamental Ψ ( t ) ? Fácil, olha ela aí!

Ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

Ψ t = 1 t 2 2 t - 1 / 2

Passo 3

Substituindo Ψ t = 1 t 2 2 t - 1 / 2 e g t = 0 t - 2 , obtemos:

u 1 ' u 2 ' = 1 t 2 2 t - 1 / 2 - 1 0 t - 2

Para a inversa, temos:

1 t 2 2 t - 1 / 2 - 1 = - 2 2 t - 1 / 2 - t - 2 1

1 t 2 2 t - 1 / 2 - 1 = - 4 t + 1 2 t 4 - 2

Logo,

u 1 ' u 2 ' = - 4 t + 1 2 t 4 - 2 0 t - 2

u 1 ' = 2 t - 1     ( I ) u 2 ' = - 2 t - 2       ( I I )

Passo 4

Para resolvermos ( I ) e ( I I ) , temos:

u 1 ' = 2 t - 1 → u 1 = 2 ln ⁡ t

u 2 ' = - 2 t - 2 → u 2 = 2 t - 1

Portanto,

U t = 2 ln ⁡ t 2 t - 1

Note que não adicionamos constantes pois buscamos uma solução particular.

Passo 5

Finalmente, resolvemos para X ( t ) :

x t = Ψ t U ( t )

x t = 1 t 2 2 t - 1 / 2 2 ln ⁡ t 2 t - 1

x t = 2 ln ⁡ t + 2 4 ln ⁡ t + 4 - t - 1

Resposta

x t = 2 ln ⁡ t + 2 4 ln ⁡ t + 4 - t - 1