Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

( a ) Calcule a matriz fundamental Φ t do sistema

x ' = A x + g t ,           A = 2 - 5 1 - 2 ,           g t = 0 csc ⁡ t ,       0 < t < π

Tal que Φ 0 = I , i.e. e t A .

( b ) Calcule uma função (vetorial) u ( t ) tal que e t A u seja uma solução particular do sistema (não-homogêneo).

Dados: csc ⁡ t = 1 / s e n   t , ∫ ⁡ cot ⁡   t   d t = ln ⁡ | s e n   t | + c .

Passo 1

( a ) Vamos começar pelo sistema homogêneo, encontrando os autovalores e autovetores de A :

det ⁡ A - λ I = 0

det ⁡ 2 - λ - 5 1 - 2 - λ = 0

λ 2 - 4 + 5 = 0

λ 2 + 1 = 0

Portanto:

λ 1,2 = ± i

Passo 2

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores. Para λ 1 = i :

A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

A v 1 = λ 1 v 1

A - λ 1 I v 1 = 0

2 - i - 5 1 - 2 - i a b = 0 0

Da primeira equação:

2 - i a = 5 b → b = 2 - i 5 a

Substituindo na segunda:

a - 2 + i b = 0

a - 2 + i 2 - i 5 a = 0

a - a = 0

Logo, as equações são redundantes. Vamos usar a segunda, de modo que a = 2 + i b . Se b = 1 , então a = 2 + i :

v 1 = a b = 2 + i 1 = 2 1 + i 1 0

Não precisamos calcular v 2 pois sabemos que será o conjugado de v 1 ! =)

Passo 3

Ótimo, temos os autovalores ( λ 1,2 = ± i )   e os autovetores v 1,2 = 2 1 ± i 1 0 ! Como a parte real de λ é nula, o termo exponencial será e 0 t = 1 .

Desta forma, teremos:

x ( 1 ) = 2 1 c o s   t - 1 0 sen ⁡ t  

x ( 2 ) = 1 0 c o s   t + 2 1 sen ⁡ t

Assim, podemos determinar a matriz fundamental:

Ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

Ψ t = 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + 2   s e n   t cos ⁡ t s e n   t

Passo 4

Para encontrar e t A , fazemos:

e t A = Φ t = Ψ t Ψ 0 - 1

Φ t = 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + 2   s e n   t cos ⁡ t s e n   t 2 1 1 0 - 1

Φ t = 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + 2   s e n   t cos ⁡ t s e n   t 0 1 1 - 2

Φ t = cos ⁡ t + 2   s e n   t - 5   s e n   t sen ⁡ t c o s   t - 2   s e n   t

E, de fato, verificamos que Φ 0 = I .

Passo 5

( b ) Tomando agora x = Φ t u , obtemos da equação:

Φ u ' = A Φ u + g

Φ ' u + Φ u ' = A Φ u + g

A Φ u + Φ u ' = A Φ u + g

Φ u ' = g

u ' = Φ - 1 g

Então, fazemos assim:

Φ - 1 = e t A - 1 = e - t A

Portanto,

Φ t = cos ⁡ ( - t ) + 2   s e n   ( - t ) - 5   s e n   ( - t ) sen ⁡ ( - t ) c o s   ( - t ) - 2   s e n   ( - t )

Φ t = cos ⁡ t - 2   s e n   t 5   s e n   t - sen ⁡ t c o s   t + 2   s e n   t

Passo 6

Assim, vamos obter:

u ' = cos ⁡ t - 2   s e n   t 5   s e n   t - sen ⁡ t c o s   t + 2   s e n   t 0 csc ⁡ t

u ' = 5   s e n   t csc ⁡ t cos ⁡ t csc ⁡ t + 2   s e n   t csc ⁡ t

Como csc ⁡ t = s e n   t - 1 , temos que

u ' = 5 cot  ⁡ t + 2

E, integrando, obtemos:

u = ∫     5 cot  ⁡ t + 2 d t = ∫ 5 d t ∫ cot  ⁡ t + 2   d t

u = 5 t ln ⁡ | s e n   t | + 2 t + C

Resposta

( a ) Φ t = cos ⁡ t + 2   s e n   t - 5   s e n   t sen ⁡ t c o s   t - 2   s e n   t

( b ) u = 5 t ln ⁡ | s e n   t | + 2 t + C