Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Dado o sistema:

x ' t = 2 3 2 1 x t + - 3 e t - 6 e 2 t

Encontre a solução geral (real) do sistema linear não-homogêneo utilizando o método da variação dos parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental), dado que a solução do homogêneo associado é

x t = B 1 3 2 e 4 t + B 2 - 1 1 e - t

Passo 1

Inicialmente, vamos reconhecer as soluções linearmente independentes, isto é:

x t = B 1 3 2 e 4 t + B 2 - 1 1 e - t

x t = B 1 x 1 + B 2 x 2

Fácil, então, ver cada um deles, né?

x 1 = 3 2 e 4 t = 3 e 4 t 2 e 4 t

x 2 = - 1 1 e - t = - e - t e - t

Passo 2

Próximo passo? Montar a matriz fundamental!

ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

ψ t = 3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t

Viu? Simples, né?

Passo 3

Okay, agora vamos pro batente! Vamos usar o método da variação de parâmetros. Para isso, definimos uma função u ( t ) , tal que a solução do sistema seja

x t = ψ t u ( t )

onde

u t = u 1 ( t ) u 2 ( t )

Desta forma, nosso problema se restringe a resolver a equação

ψ t u ' ( t ) = g ( t )

u ' ( t ) = ψ - 1 ( t ) g ( t )

Passo 4

Beleza, como o problema tem a cara x ' ( t ) = A x ( t ) + g ( t ) , sabemos que g t = - 3 e t - 6 e 2 t .

Agora, substituindo:

u 1 ' u 2 ' = 3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t - 1 - 3 e t - 6 e 2 t

Para a inversa, temos:

3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t - 1 = 1 3 e 3 t - - 2 e 3 t e - t e - t - 2 e 4 t 3 e 4 t  

3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t - 1 = 1 5 e 3 t e - t e - t - 2 e 4 t 3 e 4 t  

3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t - 1 = 1 5 e - 4 t e - 4 t - 2 e t 3 e t  

Passo 5

Assim, o sistema se torna

u 1 ' u 2 ' = 1 5 e - 4 t e - 4 t - 2 e t 3 e t - 3 e t - 6 e 2 t

u 1 ' = 1 5 - 3 e - 3 t - 6 e - 2 t     ( I ) u 2 ' = 1 5 6 e 2 t - 18 e 3 t       ( I I )

Resolvendo ( I ) :

u 1 ' = - 3 5 e - 3 t - 6 5 e - 2 t

u 1 = ∫       - 3 5 e - 3 t - 6 5 e - 2 t d t

u 1 = 1 5 e - 3 t + 3 5 e - 2 t + C 1

Resolvendo ( I I ) :

u 2 ' = 6 5 e 2 t - 18 5 e 3 t

u 2 = ∫       6 5 e 2 t - 18 5 e 3 t d t

u 2 = 3 5 e 2 t - 6 5 e 3 t + C 2

Logo:

u t = e - 3 t 5 + 3 e - 2 t 5 + C 1 3 e 2 t 5 - 6 e 3 t 5 + C 2

Passo 6

Portanto,

x p t = ψ t u ( t )

x p t = 3 e 4 t - e - t 2 e 4 t e - t e - 3 t 5 + 3 e - 2 t 5 + C 1 3 e 2 t 5 - 6 e 3 t 5 + C 2

x p t = 1 5 3 e t + 9 e 2 t + C 1 3 e 4 t - 3 e t + 6 e 2 t - C 2 e - t 2 e t + 6 e 2 t + C 1 2 e 4 t + 3 e t - 6 e 2 t + C 2 e - t

x p t = 1 5 9 e 2 t + 6 e 2 t + C 1 3 e 4 t - C 2 e - t 5 e t + C 1 2 e 4 t + C 2 e - t

Como essa é a solução particular, temos que somar à solução homogênea para obter a solução geral:

x t = x h t + x p t

x t = B 1 3 2 e 4 t + B 2 - 1 1 e - t + 1 5 9 e 2 t + 6 e 2 t + C 1 3 e 4 t - C 2 e - t 5 e t + C 1 2 e 4 t + C 2 e - t

Resposta

x t = B 1 3 2 e 4 t + B 2 - 1 1 e - t + 1 5 9 e 2 t + 6 e 2 t + C 1 3 e 4 t - C 2 e - t 5 e t + C 1 2 e 4 t + C 2 e - t