Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

Determine as soluções do seguinte sistema de equações

d x d t = x + 2 y

d y d t = - x 2 + y + e t tan ⁡ t

Passo 1

Vamos lá galera, primeiro, vamos escrever d x / d t e d y / d t como x ' e y ' para ficar mais fácil de visualizar. Sempre lembrando que a variável independente é t :

x ' = x + 2 y y ' = - x 2 + y + e t tan ⁡ t

Vamos tentar eliminar y e suas derivadas da segunda equação. Bem, isolando y na primeira, dá para substituir na segunda:

2 y = x ' - x

y = 1 2 x ' - x

Substituindo na segunda:

y ' = - x 2 + x ' 2 - x 2 + e t tan ⁡ t

y ' = x ' 2 - x + e t tan ⁡ t

Beleza, agora queremos sumir com esse y ' aí. Como fazemos? Repare lá na primeira equação do sistema, que se a gente derivar, vai aparecer y ' em função de x e suas derivadas, então vamos derivadas essa equação: x ' ' = x + 2 y '

x ' ' = x ' + 2 y '

y ' = 1 2 x ' ' - x '

Show! Agora vamos substituir na equação anterior: 1 2 x ' ' - x ' = x ' 2 - x + e t tan ⁡ t

Então temos a seguinte EDO:

x ' ' - 2 x ' + 2 x = 2 e t tan ⁡ t

Nós já aprendemos a resolver essa EDO, né? É uma EDO não homogênea.

Vamos então encontrar a solução homogênea e a solução particular.

Passo 2

Vamos resolver primeiro a EDO homogênea:

x ' ' - 2 x ' + 2 x = 0

A equação característica vai ser:

r 2 - 2 r + 2 r = 0

As raízes são:

r 1 = 1 + i r 2 = 1 - i

Assim, a solução da homogênea é:

x h t = c 1 e t sen ⁡ t + c 2 e t cos ⁡ t

Passo 3

Agora vamos encontrar a solução da EDO particular. Para isso, vamos utilizar o método da variação de parâmetros.

x ' ' - 2 x ' + 2 x = 2 e t tan ⁡ t

Vamos utilizar a base:

x 1 = e t cos ⁡ t

x 2 = e t sen ⁡ t

O Wronskiano é:

W t = x 1 x 2 x 1 ' x 2 ' = e t cos ⁡ t e t sen ⁡ t - e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t e t cos ⁡ t + e t sen ⁡ t = e 2 t

Assim, temos que:

f t = 2 e t tan ⁡ t

Temos que:

v 2 = ∫ f t x 1 W t d t = ∫ 2 e t tan ⁡ t e t cos ⁡ t e 2 t d t = 2 ∫ sen ⁡ t = - 2 cos ⁡ t v 1 = - ∫ f t x 2 W t d t = - ∫ 2 e t tan ⁡ t e t sen ⁡ t e 2 t d t = - 2 ∫ sen ⁡ t tan ⁡ t d t = 2 log ⁡ cos ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t

Assim, podemos escrever a solução particular como:

x h t = x 1 v 1 + x 2 v 2 = - 2 e t sen ⁡ t cos ⁡ t + e t cos ⁡ t 2 log ⁡ cos ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t

Assim, temos:

x p t = 2 e t cos ⁡ t log ⁡ cos ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2

Assim, a solução é da forma:

x t = x h + x p = c 1 e t sen ⁡ t + c 2 e t cos ⁡ t + 2 e t cos ⁡ t log ⁡ cos ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2

Resposta

x t = c 1 e t sen ⁡ t + c 2 e t cos ⁡ t + 2 e t cos ⁡ t log ⁡ cos ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2