Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

a) Encontre a solução do sistema linear homogêneo de EDO’s usando o método de autovalores e autovetores.

X ' t = 3 - 1 9 - 3 X t

b) Encontre a solução geral do sistema linear não=homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros.

X ' t = 3 - 1 9 - 3 X t + 1 t 2 1 t 3

Passo 1

a Para achar os autovalores, basta fazermos det ⁡ A - λ I = 0 :

det ⁡ 3 - λ - 1 9 - 3 - λ = 0

- 1 3 - λ 3 + λ + 9 = 0

- 9 + λ 2 + 9 = 0

λ = 0

λ 1 = λ 2 = 0

Passo 2

A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

A v 1 = λ 1 v 1

A - λ 1 I v 1 = 0

3 - 1 9 - 3 a b = 0 0

3 a = b 9 a = 3 b

Como as equações são linearmente dependentes, vamos dizer que:

a = 1

b = 3

Sendo então:

v 1 = 1 3

Para achar v 2 vamos fazer:

A - λ 2 I v 2 = v 1

3 - 1 9 - 3 c d = 1 3

3 c - d = 1 9 c - 3 d = 3

Como de novo as equações são linearmente dependentes, vamos fazer:

c = 1

d = 2

v 2 = 1 2

Passo 3

Nossa solução vai ser:

x ( 1 ) = v 1 = 1 3

x ( 2 ) = v 1 t + v 2 = t 3 t + 1 2

x ( 2 ) = t + 1 3 t + 2

Passo 4

b Vamos agora usar o método da variação de parâmetros para acharmos uma solução da EDO não homogênea: x t = e A t v t x ' t = A e A t v t + e A t v ' t = A x t + e A t v ' t = A x t + f ( t )

Onde : f t = 1 t 2 1 t 3

Assim: e A t v ' t = 1 t 2 1 t 3 1 + 3 t - t 9 t 1 - 3 t v ' t = 1 t 2 1 t 3

Passo 5

Vamos agora calcular a inversa de:

1 + 3 t - t 9 t 1 - 3 t

Primeiramente seu determinante vale:

d e t 1 + 3 t - t 9 t 1 - 3 t = 1 - 9 t 2 + 9 t 2 = 1

Logo sua matriz inversa será

1 - 3 t t - 9 t 1 + 3 t

Pois a matriz inversa de a b c d é   d - b - c a det ⁡ a b c d

Assim:

v ' t = 1 - 3 t t - 9 t 1 + 3 t 1 t 2 1 t 3 = 2 t - 3 t 2 t 3 1 + 3 t - 9 t ² t 3 = 2 t 2 - 3 t 1 t 3 + 3 t 2 - 9 t

Integrando para obter v temos: v t = - 2 t - 3 ln ⁡ t + a - 1 2 t 2 - 3 t - 9 ln ⁡ t + b

Logo nossa solução particular é :

x p t = e A t v t = 1 + 3 t - t 9 t 1 - 3 t - 2 t - 3 ln ⁡ t - 1 2 t 2 - 3 t - 9 ln ⁡ t = - 3 2 t - 3 - 3 l n ⁡ ( t ) - 1 2 t 2 - 3 2 t - 9 - 9 l n ⁡ ( t )

Nossa solução geral é da forma:

x 1 t = a 1 + 3 t - b t - 3 2 t - 3 - 3 l n ⁡ ( t ) ;

x 2 t = a 9 t + b 1 - 3 t - 1 2 t 2 - 3 2 t - 9 - 9 ln ⁡ t

Resposta

a x 1 t = a 1 + 3 t + b - t ;

x 2 t = a 9 t + b ( 1 - 3 t )

b x 1 t = a 1 + 3 t - b t - 3 2 t - 3 - 3 l n ⁡ ( t ) ;

x 2 t = a 9 t + b 1 - 3 t - 1 2 t 2 - 3 2 t - 9 - 9 ln ⁡ t