Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

  1. Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s usando o método de autovalores e autovetores onde
  2. x ' t = 3 - 4 4 3 x t

  3. Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo( cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

x ' t = 3 - 4 4 3 x t + e 3 t e 3 t

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo o nosso sistema homogêneo como ele pediu. Primeiro, vamos escrevê-lo na forma matricial, blz? Lembra como ela é?

Dá um look aqui

x ' t = A . x t

Basicamente, temos que identificar o valor de A , que é a nossa matriz do sistema.

Se compararmos com o sistema que ele deu, vamos ter

A = 3 - 4 4 3

Passo 2

Agora, precisamos achar os autovalores, para isso, temos que usar essa fórmula aqui

det ⁡ A - λ I = 0

Esse det é o determinante do resultado daquela continha louca. Vamos começar por ela?

A - λ I = 3 - 4 4 3 - λ 0 0 λ

A - λ I = 3 - λ - 4 4 3 - λ

Vamos agora ao determinante

3 - λ - 4 4 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - 4 . - 4 = 0  

9 - 6 λ + λ 2 + 16 = 0

λ 2 - 6 λ + 25 = 0  

Resolvendo a equação de segundo grau, vamos ter:

λ = - - 6 ± - 6 2 - 4.1 . 25 2

λ = 3 ± 4 i

Opa, nossos autovalores deram complexos, fica tranquilo que é só usar aquele terceiro caso que vimos na teoria.

Passo 3

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

Primeiro, para a o λ com a subtração:

λ 1 = 3 - 4 i

Temos que fazer a seguinte equação para achar o autovetor:

A v = λ v

Para ajudar a nossa continha, vamos fazer

v 1 = a b

Esse é o autovetor associado a λ 1

A v 1 = λ 1 v 1

A - λ 1 I v 1 = 0

3 - 4 4 3 - 3 - 4 i 1 0 0 1 a b = 0 0

4 i - 4 4 4 i a b = 0 0

a . i = b a = - b . i

Voltando para v 1

v 1 = a b = a a i

Colocando o a para fora, vamos ter

v 1 = a 1 i

Podemos então, ignorar esse a , já que queremos o autovetor sem a constante.

v 1 = 1 i

Separando a parte complexa da parte real, vamos ter

v 1 = 1 0 + 0 1 i

Passo 4

Agora, precisamos olhar para a o λ com a soma:

λ 2 = 3 + 4 i

Temos que fazer a seguinte equação para achar o autovetor:

A v = λ v

Para ajudar a nossa continha, vamos fazer

v 2 = c d

Esse é o autovetor associado a λ 2

A v 2 = λ 1 v 2

A - λ 1 I v 2 = 0

3 - 4 4 3 - 3 + 4 i 1 0 0 1 c d = 0 0

- 4 i - 4 4 - 4 i c d = 0 0

c . i = - d c = d . i

Voltando para v 2

v 2 = c d = c - c i

Colocando o c para fora, vamos ter

v 2 = c 1 - i

Podemos então, ignorar esse c , já que queremos o autovetor sem a constante.

v 2 = 1 - i

Separando a parte complexa da parte real, vamos ter

v 1 = 1 0 + 0 - 1 i

Passo 5

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima.

Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

λ 1 = 3 - 4 i ;                           v 1 = 1 0 + 0 1 i

λ 2 = 3 + 4 i ;                           v 2 = 1 0 - 0 1 i

Isso diz para a gente que:

a = 3

b = 4

a → = 1 0

b → = 0 1

Lembrando que para o valor de b e de b → , eu ignoro completamente o sinal tanto no autovalor quanto no autovetor.

Desta forma, nossa solução vai ser:

x ( 1 ) = e 3 t 1 0 ⏟ a → cos ⁡ 4 t - 0 1 ⏟ b → s e n ( 4 t ) = e 3 t cos ⁡ 4 t - s e n 4 t

x ( 2 ) = e 3 t 1 0 ⏟ a → sen ⁡ 4 t + 0 1 ⏟ b → c o s ( 4 t ) = e 3 t sen ⁡ 4 t c o s 4 t

Passo 6

Assim, a nossa solução geral vai ficar:

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = C 1 e 3 t cos ⁡ 4 t - s e n 4 t + C 2 e 3 t sen ⁡ 4 t c o s 4 t

Passo 7

b)

Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.

  ψ t = e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t

Estamos procurando a função u ( t ) tal que.

x t = ψ t u t

u ' t = ψ t - 1 g ( t )

Lembrando que.

g t = e 3 t e 3 t

Passo 8

Vamos agora cálculo ψ t - 1 , para isso, vamos usar um macetinho para fazer inversa de uma matriz

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

No nosso caso temos:

e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t - 1

Vamos começar por aquela fração ali

1 e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t - - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t = 1 e 6 t cos 2 ⁡ 4 t + e 6 t sen 2 ⁡ 4 t

Colocando o e 6 t em evidência, vamos ter:

1 e 6 t cos 2 ⁡ 4 t + e 6 t sen 2 ⁡ 4 t = 1 e 6 t cos 2 ⁡ 4 t + sen 2 ⁡ 4 t

Lembrando que

cos 2 ⁡ 4 t + sen 2 ⁡ 4 t = 1

Vamos ter, para a fração do nosso macete

1 e 6 t

Então nossa inversa vai ficar:

ψ t - 1 = 1 e 6 t e 3 t cos ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t

ψ t - 1 = e - 3 t cos ⁡ 4 t - e - 3 t sen ⁡ 4 t e - 3 t sen ⁡ 4 t e - 3 t cos ⁡ 4 t

Passo 9

Vamos agora calcular o u ' t :

u ' t = e - 3 t cos ⁡ 4 t - e - 3 t sen ⁡ 4 t e - 3 t sen ⁡ 4 t e - 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t e 3 t

u ' t = cos ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t + cos ⁡ 4 t

Integrando cada elemento dessa matriz.

u t = sen ⁡ 4 t 4 + cos ⁡ 4 t 4 + C 1 - cos ⁡ 4 t 4 + sen ⁡ 4 t 4 + C 2

Ficou feio mas é isso ai mesmo.

Passo 10

Vamos para a última parte, achar o x t

x t = e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t 4 + cos ⁡ 4 t 4 + C 1 - cos ⁡ 4 t 4 + sen ⁡ 4 t 4 + C 2

Primeiro, vamos colocar e 3 t para fora da matriz. Podemos fazer isso porque ele está em todos os elementos da primeira matriz.

x t = e 3 t cos ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t 4 + cos ⁡ 4 t 4 + C 1 - cos ⁡ 4 t 4 + sen ⁡ 4 t 4 + C 2

Agora tá bem melhor de fazer a conta né?

x t = e 3 t sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t 4 + cos 2 ⁡ 4 t 4 - sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t 4 + sen 2 ⁡ 4 t 4 + C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t - sen 2 ⁡ 4 t 4 - sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t 4 - cos 2 ⁡ 4 t 4 - cos ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t 4 + C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t

Repara que podemos cortar alguns carinhas aí

x t = e 3 t cos 2 ⁡ 4 t 4 + sen 2 ⁡ 4 t 4 + C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t - sen 2 ⁡ 4 t 4 - cos 2 ⁡ 4 t 4 + C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t

Lembrando que

sen 2 ⁡ 4 t + cos 2 ⁡ 4 t = 1

Vamos ter

x t = e 3 t 1 4 + C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t - 1 4 + C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t

E a solução geral será:

x t = e 3 t 1 4 + C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t - 1 4 + C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t

Resposta

a)

x t = C 1 e 3 t cos ⁡ 4 t - s e n 4 t + C 2 e 3 t sen ⁡ 4 t c o s 4 t

b)

x t = e 3 t 1 4 + C 1 cos ⁡ 4 t + C 2 sen ⁡ 4 t - 1 4 + C 1 sen ⁡ 4 t - C 2 cos ⁡ 4 t