Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

  1. Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s usando o método de autovalores e autovetores onde
  2. x ' t = 3 - 4 4 3 x t

  3. Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo( cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

x ' t = 3 - 4 4 3 x t + e 3 t e 3 t

Passo 1

a)

Inicialmente, vamos observar que temos um sistema linear homogêneo de e.d.o.’s com coeficientes constantes. Por isso, podemos escrevê-lo na seguinte forma matricial:

x ' t = A . x t

Onde x ( t ) é um vetor de duas coordenadas x t = x 1 ( t ) x 2 ( t ) , x ' t = x 1 ' ( t ) x 2 ' ( t ) é sua derivada e, claro, A = 3 - 4 4 3 .

Passo 2

Para achar os autovalores, basta fazermos det ⁡ A - λ I = 0 :

det ⁡ 3 - λ - 4 4 3 - λ = 0

3 - λ 2 + 16 = 0

9 - 6 λ + λ 2 + 16 = 0

λ 2 - 6 λ + 25 = 0  

Resolvendo a equação de segundo grau:

λ 1,2 = - - 6 ± - 6 2 - 4.1 . 25 2

λ 1,2 = 3 ± 4 i

Passo 3

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

  • Para λ 1 = 3 - 4 i :
  • A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

    A v 1 = λ 1 v 1

    A - λ 1 I v 1 = 0

    3 - 4 4 3 - 3 - 4 i 1 0 0 1 a b = 0 0

    4 i - 4 4 4 i a b = 0 0

    a . i = b a = - b . i

    Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é a = 1 e b = i :

    v 1 = a b = 1 i = 1 0 + 0 1 i

  • Para λ 2 = 3 + 4 i :

O procedimento é semelhante:

A - λ 2 I v 2 = 0

- 4 i - 4 4 - 4 i c d = 0 0

- c . i = d c = d . i

E, assim, obtemos c = 1 e d = - i :

v 2 = c d = 1 - i = 1 0 - 0 1 i

Note que v 2 é de fato o conjugado de v 1 .

Passo 4

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

λ 1,2 = 3 ∓ 4 i

v 1,2 = 1 0 ± 0 1 i

Desta forma, teremos:

x ( 1 ) = e 3 t 1 0 cos ⁡ 4 t + 0 1 s e n ( 4 t ) = e 3 t cos ⁡ 4 t s e n 4 t

x ( 2 ) = e 3 t 1 0 s e n ( 4 t ) - 0 1 cos ⁡ 4 t = e 3 t s e n ( 4 t ) - cos ⁡ 4 t

Passo 5

E, combinando as respostas:

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = C 1 e 3 t cos ⁡ 4 t s e n 4 t + C 2 e 3 t s e n ( 4 t ) - cos ⁡ 4 t

x t = e 3 t C 1 cos ⁡ 4 t + C 2   s e n 4 t C 1   s e n 4 t - C 2   cos ⁡ 4 t

Passo 6

b)

Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.

  ψ t = e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t cos ⁡ 4 t

Estamos procurando a função u ( t ) tal que.

x t = ψ t u t

u ' t = ψ t - 1 g ( t )

Lembrando que.

g t = e 3 t e 3 t

Passo 7

Lembrando da formula para m=calcular a inversa de uma matriz quadrada.

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

ψ t = e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t cos ⁡ 4 t

Calculando ψ t - 1

ψ t - 1 = 1 - e 6 t cos 2 ⁡ 4 t - e 6 t sen 2 ⁡ 4 t - e 3 t cos ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t

ψ t - 1 = 1 - e 6 t cos 2 ⁡ 4 t + sen 2 ⁡ 4 t - e 3 t cos ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t

ψ t - 1 = - 1 e 6 t - e 3 t cos ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t cos ⁡ 4 t

Colocando e 3 t em evidencia na matriz.

ψ t - 1 = - 1 e 3 t - cos ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t

Passo 8

Calculando u ' ( t )

u ' t = - 1 e 3 t - cos ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t e 3 t e 3 t

u ' t = - 1 e 3 t e 3 t - cos ⁡ 4 t - sen ⁡ 4 t e 3 t - sen ⁡ 4 t + cos ⁡ 4 t

u ' t = cos ⁡ 4 t + sen ⁡ 4 t   sen ⁡ 4 t - cos ⁡ 4 t  

Integrando cada elemento dessa matriz.

u t = sen ⁡ 4 t - cos ⁡ 4 t 4 - sen ⁡ 4 t + cos ⁡ 4 t 4

Ficou feio mas é isso ai mesmo.

Passo 9

Calculando x ( t )

x t = e 3 t cos ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t e 3 t sen ⁡ 4 t - e 3 t cos ⁡ 4 t sen ⁡ 4 t - cos ⁡ 4 t 4 - sen ⁡ 4 t + cos ⁡ 4 t 4

x t = e 3 t sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t - e 3 t cos 2 ⁡ 4 t - e 3 t sen 2 ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t 4 e 3 t sen 2 ⁡ 4 t - e 3 t sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t + e 3 t sen ⁡ 4 t cos ⁡ 4 t + e 3 t cos 2 ⁡ 4 t 4

x t = - e 3 t cos 2 ⁡ 4 t - e 3 t sen 2 ⁡ 4 t 4 e 3 t sen 2 ⁡ 4 t + e 3 t cos 2 ⁡ 4 t 4

x t = - e 3 t sen 2 ⁡ 4 t + cos 2 ⁡ 4 t 4 e 3 t sen 2 ⁡ 4 t + cos 2 ⁡ 4 t 4

x t = - e 3 t 4 e 3 t 4

Resposta

a)

x t = e 3 t C 1 cos ⁡ 4 t + C 2   s e n 4 t C 1   s e n 4 t - C 2   cos ⁡ 4 t

b)

x t = - e 3 t 4 e 3 t 4