Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

  1. Encontre a solução do sistema linear homogêneo de edo’s usando o método de autovalores e autovetores onde
  2. x ' t = 3 - 1 9 - 3 x t

  3. Encontre a solução geral do sistema linear não homogêneo (cujo sistema homogêneo associado está na parte (a)) utilizando o método de variação de parâmetros:

x ' t = 3 - 1 9 - 3 x t + 1 t 2 1 t 3

Passo 1

a)

Inicialmente, vamos observar que temos um sistema linear homogêneo de e.d.o.’s com coeficientes constantes. Por isso, podemos escrevê-lo na seguinte forma matricial:

x ' t = A . x t

Onde x ( t ) é um vetor de duas coordenadas x t = x 1 ( t ) x 2 ( t ) , x ' t = x 1 ' ( t ) x 2 ' ( t ) é sua derivada e, claro, A = 3 - 1 9 - 3 .

Passo 2

Para achar os autovalores, basta fazermos det ⁡ A - λ I = 0 :

det ⁡ 3 - λ - 1 9 - 3 - λ = 0

3 - λ - 3 - λ + 9 = 0

- 9 + λ 2 + 9 = 0

λ 2 = 0  

Então temos uma raiz dupla e igual a 0.

Passo 3

Vamos, agora, obter os autovetores. Para obter o primeiro devemos resolver a seguinte equação.

A - λ I v 1 = 0

Como λ = 0 .

A v 1 = 0

Chamando v 1 = a b  

3 - 1 9 - 3 a b = 0

3 a = b 9 a = 3 b

Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é a = 1 e b = 3 :

v 1 = a b = 1 3

Para encontrarmos o segundo autovetor devemos resolver a seguinte equação.

A - λ I v 2 = v 1

Como λ = 0 e chamando v 2 = c d

A v 2 = v 1

3 - 1 9 - 3 c d = 1 3

3 c - d = 1 9 c - 3 d = 3

Temos outro par de equações redundantes. Uma possível solução é c = 1 e d = 2

v 2 = c d = 1 2

Passo 4

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Desta forma, teremos:

x 1 = v 1 e λ t

x 2 = v 1 t e λ t + v 2 e λ t  

x ( 1 ) = 1 3

x ( 2 ) = t 1 3 + 1 2

Passo 5

E, combinando as respostas:

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = C 1 1 3 + C 2 t 1 3 + 1 2

x t = C 1 + C 2 ( t + 1 ) 3 C 1 + C 2 ( 3 t + 2 )  

Passo 6

b)

Vamos utilizar o método da variação de parâmetros agora para encontrar a solução geral do sistema de edos. Montando a matriz fundamental.

  ψ t = 1 t + 1 3 3 t + 2

Estamos procurando a função u ( t ) tal que.

x t = ψ t u t

u ' t = ψ t - 1 g ( t )

Lembrando que.

g t = 1 t 2 1 t 3

Passo 7

Lembrando da formula para m=calcular a inversa de uma matriz quadrada.

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Calculando ψ t - 1

ψ t - 1 = - 1 3 t + 2 - t - 1 - 3 1 = - 3 t - 2 t + 1 3 - 1  

Passo 8

Calculando u ' ( t )

u ' t = - 3 t - 2 t + 1 3 - 1   1 t 2 1 t 3

u ' t = - 3 t 2 - t + 1 t 3 3 t - 1 t 3

Integrando cada elemento dessa matriz.

u t = - 3 ln ⁡ t + 1 t - 1 2 t 2 + D 1 - 3 t + 1 2 t 2 + D 2

Ficou feio mas é isso ai mesmo.

Passo 9

Calculando x ( t )

x t = 1 t + 1 3 3 t + 2 - 3 ln ⁡ t + 1 t - 1 2 t 2 + D 1 - 3 t + 1 2 t 2 + D 2

x t = - 3 ln ⁡ t - 3 2 t + D 1 + - 3 + t D 2 + D 2 - 9 ln ⁡ t - 3 2 t - 1 2 t 2 + 3 D 1 - 9 + 3 t D 2 + 2 D 2

Resposta

a)

x t = C 1 + C 2 ( t + 1 ) 3 C 1 + C 2 ( 3 t + 2 )  

b)

x t = - 3 ln ⁡ t - 3 2 t + D 1 + - 3 + t D 2 + D 2 - 9 ln ⁡ t - 3 2 t - 1 2 t 2 + 3 D 1 - 9 + 3 t D 2 + 2 D 2