Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

Ver Teoria

Enunciado

Questão 1: Encontre a solução geral do sistema não homogêneo

x 1 ' t = 2 x 1 - x 2                           x 2 ' t = 3 x 1 - 2 x 2 + 4 t

Passo 1

EITA! Queremos resolver aqui não uma equação diferencial, mas sim um sistema de equações diferenciais com duas equações e duas incógnitas! Se lembra de como trabalhamos com isso?

Bem, vou listar uma listinha de passos aqui que podemos sempre seguir:

  1. Saber bem o que a gente quer e colocar o sistema em notação matricial de sistema de EDO’s normais.
  2. Resolver a EDO homogênea equivalente.
  3. Achar a Matriz fundamental ψ t .
  4. Inverter a Matriz fundamental ψ - 1 t .
  5. Achar u t de u ' t = ψ - 1 t ' ⋅ g t
  6. Encontrar a EDO não homogênea fazendo X t = ψ t ⋅ u t

Muito trabalho pra fazer, neh? Então vamos nessa que os passos vão ficando mais claro ao longo do exercício!

Passo 2

1 )

A primeiríssima coisa que devemos fazer é entender o problema! Saber exatamente em que resultado queremos chegar. E isso não é só aqui, na verdade. Em qualquer problema é sempre bom fazermos essa análise! Nesse problema, buscamos a solução do sistema

x 1 ' t = 2 x 1 - x 2                           x 2 ' t = 3 x 1 - 2 x 2 + 4 t

Onde as “incógnitas” são duas funções: x 1 t e x 2 t . (O passo a passo serve justamente para encontrar a expressão delas em função de t , saca?).

No caso, vamos condensar esse sistema em notação matricial dessa forma aqui ó:

x 1 ' t x 2 ' t = 2 - 1 3 - 2 ⋅ x 1 t x 2 t + 0 4 t

Onde mais condensadamente ainda podemos escrever:

X ' t = A ⋅ X t + g t

Onde:

A = 2 - 1 3 - 2

E

g t = 0 4 t

Perceba que quem queremos encontrar é justamente o vetor solução que é o X t . Tenha isso em mente e bora para o próximo passo!

Passo 3

2 )

A segunda coisa a se fazer é se resolver a EDO homogênea equivalente!

x 1 ' t x 2 ' t = 2 - 1 3 - 2 ⋅ x 1 t x 2 t

Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e calcular os autovalores dessa matriz A e depois encontrar os autoespaços associados a A ( [ v 1 ,   v 2 ] ).

Passo 4

Encontrando os autovalores:

Podemos fazer isso aplicando a teoria que nos diz que um autovalor λ pode ser encontrado assim:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde...

det ⁡ 2 - 1 3 - 2 - λ 1 0 0 1 =

det ⁡ 2 - λ - 1 3 - 2 - λ = 2 - λ ⋅ - 2 - λ - - 1 ⋅ 3 =

λ 2 - 1

Como o determinante tem que ser igual a 0 ...

λ 2 - 1 = 0       →           λ 2 = 1         →               λ 1 = 1 λ 2 = - 1

Passo 5

Encontrando os autovetores associados:

Como tivemos dois autovalores reais e diferentes entre si λ 1 ≠ λ 2 , os nossos autovetores podem ser encontrados assim:

A - λ   ⋅ v   = 0

Sendo o v 1 o autovetor associado ao autovalor λ 1 . Vamos falar que ele tem coordenadas:

a b

Para encontrar as coordenadas dele...

A - λ 1 I ⋅ v 1 = 0       →       2 - 1 3 - 2 - 1 1 0 0 1 ⋅ a b = 0       →

  2 - 1 - 1 3 - 2 - 1 ⋅ a b = 0   →

  1 - 1 3 - 3 ⋅ a b = 0   →

Da multiplicação matricial...

a - b 3 a - 3 b = 0   →

a - b = 0

Escolhendo a = 1 ...

b = a = 1

Logo, um autovetor v 1 associado ao autovalor λ 1 é:

v 1 = 1 1

Calculando o outro autovetor dessa vez associado ao autovalor λ 2 = - 1 um pouco mais rápido...

A - λ 2 I ⋅ v 2 = 0       →       3 - 1 3 - 1 ⋅ a b = 0       →

3 a - b 3 a - b = 0   →

3 a - b = 0

Escolhendo a = 1 ...

b = 3

Logo

v 2 = 1 3

Passo 6

TÁ! Mas e aí? O que isso tem a ver com o nosso problema? Ainda bem que perguntou! Sabe por quê? Porque agora basicamente temos a solução da homogênea pronta! Pois como os autovalores foram distintos a solução da homogênea é:

X t = c 1 ⋅ v 1 e λ 1 t + c 2 ⋅ v 2 e λ 2 t       →

X t = c 1 ⋅ 1 1 e t + c 2 ⋅ 1 3 e - t   →

X t = c 1 ⋅ e t e t + c 2 ⋅ e - t 3 e - t

Mas assim! Não queremos só a solução da homogênea, neh? E sim queremos a solução geral! Então não vamos parar por aqui e continuar o nosso passo a passo!

Passo 7

3 )

O nosso terceiro item do nosso método nos pede para...

  1. Achar a Matriz fundamental ψ t !

Mas para a nossa alegria, esse item está quase completo! Não tem a nossa solução homogênea?

X t = c 1 ⋅ e t e t + c 2 ⋅ e - t 3 e - t

Se chamarmos esse primeiro vetor de ψ 1 e o segundo de ψ 2 , a nossa matriz fundamental fica sendo...

ψ t = ψ 1   ψ 2         →

e t e t   e - t 3 e - t

Passo 8

4 )

O quarto item nos pede que invertamos a matriz fundamental:

ψ t   →       ψ - 1 t

Como ela é uma matriz dois por 2 , sua inversão é bem tranquila: vasta trocar os itens da diagonal principal, e inverter o sinal da diagonal secundária! (não se esqueça de dividir pelo determinante!).

ψ - 1 t = 1 det ⁡ ψ t 3 e - t - e t   - e - t e t

Como

det ⁡ ψ t = det ⁡ e t e t   e - t 3 e - t = 3 - 1 = 2

ψ - 1 t = 1 2 3 e - t - e t   - e - t e t

Passo 9

5 )

Agora devemos achar u t de tal forma que

u ' t = ψ - 1 t ⋅ g t     →

Assim...

u ' t = 1 2 3 e - t - e t   - e - t e t ⋅ g t     →

Como g t lá do passo 2 é...

u ' t = 1 2 3 e - t - e t   - e - t e t ⋅ 0 4 t   →

u ' t = 1 2 0 - 4 t e - t 0 + 4 t e t   →

u ' t = 2 - t e - t + t e t

Integrando agora cada membro desse vetor para tirar o u ...

u t = 2 - ∫ t e - t   d t ∫ t e t d t     →

u t = 2 t e - t + e - t + k 1 t e t - e t + k 2

Onde k 1 e k 2 são constantes de integração!

Passo 10

6 )

Por último e não morra de tédio... Vamos calcular a resposta do sistema não homogêneo fazendo

X t = ψ t ⋅ u t       →

X t = 2 e t e t   e - t 3 e - t ⋅ t e - t + e - t + k 1 t e t - e t + k 2     →

Multiplicando corretamente essa matriz por esse vetor...

X t = 2 e t t e - t + e - t + k 1 + e - t t e t - e t + k 2 e t t e - t + e - t + k 1 + 3 e - t t e t - e t + k 2     →

Simplificando...

X t = 2 t + 1 + k 1 e t + t - 1 + k 2 e - t t + 1 + k 1 e t + 3 t - 3 + 3 k 2 e - t     →

X t = 2 k 1 e t + 2 k 2 e - t + 4 t 2 k 1 e t + 6 k 2 e - t + 8 t - 4

Esse é o vetor solução! As soluções são:

x 1 t = 2 k 1 e t + 2 k 2 e - t + 4 t

x 2 t = 2 k 1 e t + 6 k 2 e - t + 8 t - 4

Resposta

x 1 t = 2 k 1 e t + 2 k 2 e - t + 4 t

x 2 t = 2 k 1 e t + 6 k 2 e - t + 8 t - 4