Exercícios Resolvidos de Método de Variação dos Parâmetros

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Enunciado

a   Para o seguinte sistema linear homogêneo de EDO’s:

x ' t = 1 - 3 3 7 x ( t )

i . Prove que o autovalor é 4 com multiplicidade dois.

i i . Encontre a solução geral do sistema linear homogêneo de EDO’s.

( b ) Encontre a solução geral do sistema linear não-homogêneo utilizando o método de variação de parâmetros (indicando claramente a matriz fundamental). Note que o sistema homogêneo associado está descrito acima na parte ( a ) desta questão.

x ' t = 1 - 3 3 7 x t + t e 4 t t 2 e 4 t

A resposta (solução) pode ser dada em termos da matriz fundamental, ou seja, na sua resposta não precisa fazer a multiplicação da matriz fundamental pela função vetorial que você deve determinar.

Passo 1

Primeiramente, vamos calcular os autovalores desse sistema. Identificando a matriz A :

A = 1 - 3 3 7

Agora, para calcular os autovalores, precisamos que

D e t A - λ I = 0

1 - λ - 3 3 7 - λ = 0 → 1 - λ 7 - λ + 9 = 0

λ 2 - 8 λ + 16 = 0

λ 1 = 4 λ 2 = 4

Como tínhamos um polinômio do segundo grau, precisamos de duas raízes. Tendo em vista que ∆ = 0 , tem-se uma raiz com multiplicidade dois.

Passo 2

Bom, já calculamos os autovalores, então agora precisamos encontrar os autovetores. Lembra deles? Satisfazem a seguinte equação:

A v 1 = λ 1 v 1

No nosso caso,

- 3 - 3 3 3 a b = 4 a b

- 3 a - 3 b = 4 a 3 a + 3 b = 4 b → a + b = 0

Assim, podemos adotar

v 1 = 1 - 1

Precisamos encontrar um outro autovetor, mas perceba que se usássemos a fórmula mais acima, não daria certo porque cairíamos no mesmo vetor de novo. Toda vez que isso acontecer, você usará a seguinte fórmula:

A - 4 v 2 = v 1

Fazendo isso

- 3 - 3 3 3 c d = 1 - 1

- 3 c - 3 d = 1 3 c + 3 d = - 1 → 3 c + 3 d = - 1

Sendo assim, podemos adotar

v 2 = - 1 3 0

Passo 3

Sabendo que:

x t = c 1 x 1 + c 2 x 2

Temos que x 1 = e 4 t v 1 e x 2 = t e 4 t v 1 + e 4 t v 2 , já que encontramos uma raiz com multiplicidade dois.

x t = c 1 e 4 t 1 - 1 + c 2 t e 4 t 1 - 1 + c 2 e 4 t - 1 / 3 0

x t = c 1 e 4 t + c 2 t e 4 t - c 2 e 4 t 3 - c 1 e 4 t - c 2 t e 4 t

x t = e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t c 1 c 2

Passo 4

Show! Feito tudo isso, agora precisamos resolver o sistema não homogêneo:

x ' t = 1 - 3 3 7 x t + t e 4 t t 2 e 4 t

A solução é do tipo:

x t = ψ   t C + x p ,     C = c 1 c 2

A matriz fundamental ψ será uma parte da solução homogênea, excluindo as constantes:

e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t

Portanto, nossa solução particular

x p = ψ ( t )   u ( t )

u t = u 1 u 2

Queremos esse u ( t ) , tal que:

ψ ( t )   u ' t = t e 4 t t 2 e 4 t

e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t u 1 ' u 2 ' = t e 4 t t 2 e 4 t

1 t - 1 3 - 1 - t u 1 ' u 2 ' = t t 2

Chegando a essa equação, ficamos com o seguinte:

u 1 ' + u 2 ' t - 1 3 = t - u 1 ' - t u 2 ' = t 2

Somando a primeira equação com a segunda, temos:

u 2 ' t - 1 3 - t = t + t 2

d u 2 d t = - 3 t - 3 t 2

u 2 = ∫ - 3 t - 3 t 2 d t = - 3 t 2 2 - t 3

Substituindo essa u 2 ' na segunda equação, encontraremos finalmente o u 1 :

- u 1 ' - t u 2 ' = t 2 →   - u 1 ' - t - 3 t - 3 t 2 = t 2

d u 1 d t = 2 t 2 + 3 t 3

u 1 = ∫ 2 t 2 + 3 t 3 d t = 2 t 3 3 + 3 t 4 4

Passo 5

Tendo calculado u 1 e u 2 , encontramos o vetor u ( t ) , que nos permitirá calcular x p :

u t = 2 t 3 3 + 3 t 4 4 - 3 t 2 2 - t 3   → x p = e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t 2 t 3 3 + 3 t 4 4 - 3 t 2 2 - t 3

AEEEEEE, agora a resposta final!

x t = ψ   t C + x p ,     C = c 1 c 2

x t = e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t c 1 c 2 + e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t 2 t 3 3 + 3 t 4 4 - 3 t 2 2 - t 3 ,     C = c 1 c 2

Resposta

a   i i .  

x t = e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t c 1 c 2

b  

x t = e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t c 1 c 2 + e 4 t 1 t - 1 3 - 1 - t 2 t 3 3 + 3 t 4 4 - 3 t 2 2 - t 3 ,     C = c 1 c 2