Exercícios Resolvidos de Métodos de Série de Taylor

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Enunciado

Calcular y ( 0.2 ) usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:

y ' = - y + x + 2 y 0 = 2

Considere h = 0.1

Passo 1

Fala, td blz? Doideraaa resolver PVI com série de Taylor, mas vamos lá!! Primeiro, Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de f ( x , y ) , ok?

y ' = f ( x , y )

Sabemos também lá da teoria que para achar y ( 0.2 ) , teremos que achar primeiro y ( 0.1 ) então olha lá.

y 0.1 = y 0 + y ' 0 * h + y ' ' 0 * h 2 2

Então bora calcular esse y ' ( 0 )

y ' 0 = - 2 + 0 + 2 = 0

Beleza, a última parcela que falta é y ' ' , mas pra acha-la vamos precisar de uma ajudinha da regra da cadeia

y ' ' = ∂ f ∂ x + y ' ∂ f ∂ y

Por partes, e com calma vamo lá.

∂ f ∂ x = 1

E

∂ f ∂ y = - 1

Então

y ' ' = 1 - y '

y ' ' = y - x - 1

Aeeew!! Agora basta encontrar y ' ' ( 0 )

y ' ' 0 = 2 - 0 - 1 = 1

Então já podemos achar y ( 0.1 ) .

y 0.1 = y 0 + y ' 0 * h + y ' ' 0 * h 2 2

y 0.1 = 2 + 0 * 0.1 + 1 * 0.1 2 2 = 2.005

Passo 2

Já estamos quase lá, agora é só aplicar mais uma iteração pra chegar em y ( 0.2 )

y 0.2 = y 0.1 + y ' 0.1 * h + y ' ' 0.1 * h 2 2

Podemo calcular y ' ( 0.1 ) .

y ( 0.1 ) ' = - y ( 0.1 ) + x + 2

y ' 0.1 = - 2.005 + 0.1 + 2 = 0.09 5

E rapidão já calcular y ' ' ( 0.1 ) .

y ( 0.1 ) ' ' = y ( 0.1 ) - x - 1

y ( 0.1 ) ' ' = 2.005 - 0.1 - 1 = 0.905

E pra acabar, e tirar aquele 10, basta agora usar de novo a equação do método que a gente montou lá no começo.

y 0.2 = y 0.1 + y ' 0.1 * h + y ' ' 0.1 * h 2 2

y 0.2 = 2.005 + 0.09 5 * 0.1 + 0.905 * 0.1 2 2 = 2.01

Resposta

y 0.2 = 2.01

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