Exercícios Resolvidos de Métodos de Série de Taylor

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Enunciado

Calcular y ( 2.1 ) usando a série de Taylor de 2ª ordem para o PVI:

x y ' = x - y y 2 = 2

Passo 1

Fala, td blz? Esse assunto de resolver PVI com série de Taylor é muita viagem né, mas vamos por partes, pode ficar tranquilo. Olha lá, a primeira coisa a se fazer é isolar o y ' na sua EDO.

y ' = x - y x = 1 - y x

Esse negócio que ficou sozinho do lado direito da igualdade vamos chamar de f ( x , y ) , ok?

E já vamos calcular logo de cara o y ' 2   , que é parte da fórmula pra achar y ( 2.1 ) ,

com os dados de x e y que a gente tira do PVI alí no enunciado.

y ' 2 = 1 - 2 2 = 0

Passo 2

Agora temos que encontrar o y ' ' . Como seu professor pediu ordem 2, essa vai ser a última derivada que você precisa achar. Pra isso vamos aplicar a regrinha da cadeia hehe

y ' ' = ∂ f ∂ x + y ' ∂ f ∂ y

Vamos por pedacinho então

∂ f ∂ x = y x 2

E

∂ f ∂ y = - 1 x

Então temos

y ' ' = y x 2 + - y ' x

Agora precisamos calcular y ' ' ( 2 ) , que é parte da fórmula pra achar y ( 2.1 ) .

y ' ' 2 = 2 4 + 0 = 0.5

Passo 3

Agora precisamos substituir esses valores que encontramos na fórmula do método que é essa aqui oh:

y k + 1 = y k + y k ' h + y k ' ' h 2 2 …

Adaptada pro nosso problema, ela fica assim:

y 2.1 = y 2 + y ' 2 * h + y ' ' 2 * h 2 2

y 2.1 = 2 + 0 * 0.1 + 0.5 * 0.1 2 2 = 2.0025

Resposta

y 2.1 = 2.0025

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23. Considere a equação diferencial y ' = y sen ⁡ y + x com a condição inicial y 0 = 1 . Calcule y ' ( 0 ) , y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) . Utilizando esta informação calcule aproximadamente y ( 0.2 )
Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de· ordem 2 aplicado ao PVI abaixo: sendo h = 0.1; verifique que y(x) = exp(-x) + x - 1 é solução do PVl; calcule um limitante superior para o e