Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

Considere um tanque com fluxo de reciclo (recirculação)mostrado na figura abaixo. Objetiva-se estudar a dinâmica do nível h t , de acordo com o fluxo de entrada, f e ( T ) , e a abertura das válvulas, m ( t ) . Considere densidade, ρ , a área do tanque, A , e a vazão de saída, f b , como constantes. Obtenha o modelo matemático do processo.

Passo 1

Vamos começar fazendo o balanço de massa para esse tanque então:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Não existe reação no processo, portanto os termos de reação e consumo serão nulos.

A c ú m u l o = E n t r a - S a i

d m d t = m ˙ e + m ˙ r - m ˙ b

Passo 2

Vamos colocar tudo em termos de volume:

m = ρ V

m e ˙ = ρ f e ( t )

m r ˙ = ρ f r ( t )

m ˙ b = ρ f b

Substituindo tudo

ρ d V d t = ρ f e t + ρ f r t - ρ f b

Podmeos então cancelar ρ em toda a equação.

d V d t = f e t + f r t - f b

Precisamos da expressão para a altura do nível no tanque, então:

V = A h ( t )

A d h ( t ) d t = f e t + f r t - f b

Passo 3

Tamo quase lá, mas o exercício também pede para que a gente relacione o nível do fluido no tanque com a abertura da válvula, m ( t ) . Como:

f r t = f b m ( t )

A d h ( t ) d t = f e t + f b m ( t ) - f b

Passo 4

Repare que caímos numa EDO não-homogênea, isso é, ela apresenta uma constante, f b . Quando acontece isso, precisamos aplicar variáveis desvio.

Atualmente, nossa EDO é a seguinte:

A d h ( t ) d t = f e t + f b m ( t ) - f b

Vamos reescrever essa EDO colocando todas as variáveis com seus valores no estado inicial:

A d h 0 d t = f e 0 + f b m 0 - f b

Como f b é uma constante, seu valor não se altera. Agora, nós subtraímos a segunda expressão da primeira:

A d h ( t ) - h 0   d t = f e t - f e 0 + f b m t - m 0

Vamos definir as nossas variáveis desvio:

h - ( t ) = h t - h 0

f e - t = f e t - f e 0

m - t = m t - m 0

Substituindo na EDO:

A d h - t d t = f e - t + f b m - ( t )

Conseguimos então transformar uma EDO não-homogênea em uma EDO homogênea.

Resposta

A d h - t d t = f e - t + f b m - ( t )