Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

A seguite reação elementar irreversível ocorre no reator elementar mostrado abaixo:

A velocidade de consumo do regemnte A é dada por:

r A = - k C A t C B ( t )

O conteúdo do reator está perfeitamente misturadao e a temperatura, o volume e a densiadade da mistura reagida podem ser consideradas constantes.

Suponha que as concentrações de entrada, C A 0   e   C B 0 , são constantes. Obtenha o modelo matemático para essas concentrações em função dos fluxos de entrada.

Passo 1

Dessa vez, em vez de fazer o balanço de massa, vamos fazer o balanço molar para o componente A (que dá no mesmo no fim das contas)

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

O componente A é um reagente do processo, logo ele é consumido e a expressão do balanço fica:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i - { C o n s u m i d o }

Vamos escrever cada parcela do balanço separadamente:

A c ú m u l o = d n A d t = d V C A d t = V d C A d t

E n t r a = n ˙ A = C A 0 f A ( t )

S a i = C A ( t ) f ( t )

C o n s u m i d o = V k C A t C B ( t )

Juntando tudo:

V d C A d t = C A 0 f A t - C A t f t - V k C A t C B ( t )

Passo 2

Como o volume do tanque é constante, o que entra é igual ao que sai, sendo assim:

f t = f A t + f B ( t )

Subtitindo na expressão:

V d C A d t = C A 0 f A t - C A t f A t + f B t - V k C A t C B ( t )

V d C A d t = C A 0 f A t - C A t f A t - C A t f B ( t ) - V k C A t C B ( t )

Passo 3

A gente já tá quase lá. O problema é que encontramos o EDO não linear, isso acontece porque existem termo com produtos de funções que dependem do tempo, e por isso precisamos linearizá-las.

A linearização ficará assim:

C A t f A t = C A - f A - + C A - f A t + f A - C A t

C A t f B t = C A - f B - + C A - f B t + f B - C A t

V k C A t C B t = V k C A - C B - + V k C A - C B t + V k C B - C A ( t )

Os termos com barra representam o valor daquela variável em t = 0 .

Caso você não se lembre como fazer a linearização, dá uma revisada nesse assunto porque é bem importante.

Substituindo na EDO:

V d C A d t = C A 0 f A t - C A - f A - - C A - f A t - f A - C A t - C A - f B - - C A - f B t - f B - C A t - V k C A - C B - - V k C A - C B t - V k C B - C A ( t )

Passo 4

Agora, ficamos com uma EDO não-homogênea por causa das constantes solta. Precisamos inserir então as variáveis desvio. A nossa EDO tá assim:

V d C A d t = C A 0 f A t - C A - f A - - C A - f A t - f A - C A t - C A - f B - - C A - f B t - f B - C A t - V k C A - C B - - V k C A - C B t - V k C B - C A ( t )

Vamos reescrever essa EDO com todas as variáveis com o valor inicial:

V d C A - d t = C A 0 f A - - C A - f A - + C A - f A - - f A - C A - - C A - f B - - C A - f B - - f B - C A - - V k C A - C B - - V k C A - C B - - V k C B - C A -

Definindo as variáveis desvio e fazendo a primeira menos a segunda, teremos:

A ( t ) = C A t - C A -

B ( t ) = C B t - C B -

F A ( t ) = f A t - f A -

F B t = f B t - f B -

V d A t d t = C A 0 F A t - C A - F A t - f A - A t - C A - F B t - f A - B t - V k C A - B t - V k C B - A ( t )

Rearranjando:

V d A t d t = C A 0 - C A - F A t - C A - F B t - f B - + V k C B - A t - f A - + V k C A - B ( t )

Para o componente B , a resolução é de forma análoga:

V d B t d t = C B 0 - C B - B t - C B - F A t - f B - + V k C B - A t - f B - + V k C A - B ( t )

Resposta

V d A t d t = C A 0 - C A - F A t - C A - F B t - f B - + V k C B - A t - f A - + V k C A - B ( t )

V d B t d t = C B 0 - C B - B t - C B - F A t - f B - + V k C B - A t - f B - + V k C A - B ( t )