Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

Dois tanques são conectados conforme ilustrado na figura abaixo:

Desenvolva o modelo matemático para esse sistema de maneira a encontrar a variação do nível dos tanques h 1 e h 2 .

Passo 1

Vamos começar pelo primeiro tanque. O primeiro passo é sempre começar pelo balanço de massa:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Podemos desconsiderar os dois últimos termos porque não tem reação no tanque e portanto, nada é gerado nem consumido.

A c ú m u l o = E n t r a - { S a i }

O termo de acúmulo a gente sempre representa como a derivada, a corrente m ˙ 1 entra no tanque e as correntes m ˙ 2 e m ˙ 3 saem do tanque:

A c ú m u l o = d m 1 d t

E n t r a = m ˙ 1

S a i = m ˙ 2 + m ˙ 3

Substituindo tudo no balanço:

d m 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Entretanto o exercício pede que a gente encontre a expressão de variação de h 1 , e não de m . Sendo assim, precisamos fazer algumas substituições. Sabendo que:

m 1 = ρ V 1

E

V 1 = A 1 h 1

Logo:

m 1 = ρ A 1 h 1

Substituindo na EDO:

d ρ A 1 h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Considerando a área e a densidade constante, teremos:

ρ A 1   d h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

Passo 2

Vamos fazer o mesmo para o segundo tanque agora.

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

O segundo tanque também não tem nenhum consumo nem geração, mas também não tem nenhuma corrente entrando, sendo assim:

A c ú m u l o = E n t r a

Como a única corrente que entra no segundo tanque é a corrente m ˙ 2 , o balanço ficará assim:

d m 2 d t = m ˙ 2

Agora vamos fazer o mesmo procedimento que fizemos para o primeiro tanque para encontrar a expressão de h 2 :

m 2 = ρ V 2

V 2 = A 2 h 2

m 2 = ρ A 2 h 2

Portanto:

d ρ A 2 h 2 d t = m ˙ 2

Considerando ρ e A 2 constantes, teremos:

ρ A 2 d h 2 d t = m ˙ 2

Passo 3

Resposta

ρ A 1   d h 1 d t = m ˙ 1 - m ˙ 2 - m ˙ 3

ρ A 2 d h 2 d t = m ˙ 2