Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

Um tanque de mistura mostrado na figura seguinte com volume de líquido e densisdade constante é usado para misturar duas correntes.

  1. Assuma que o processo está operando por um longo período de tempo com uma vazão mássica de entrada de m ˙ 1 = 500 k g / m i n e m ˙ 2 = 200   k g / m i n   e composição das correntes de entrada de x 1 = 0,4 e x 2 = 0,75 . Nesse contexto, qual é o estado estacionário de x 3 ?
  2. Desenvolva o modelo matemático do sistema supondo que o nível de líquido possa variar.

Passo 1

Para determinar a composição de saída, precisamos fazer o balanço de massa para o componente.

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Não existe reação no processo, portanto os termos de reação e consumo serão nulos. Além disso, também não existe acúmulo porque o enunciado diz que o volume não vatia e as composições são constantes.

m ˙ 3 = m ˙ 1 + m ˙ 2

Portanto:

E n t r a - S a i = 0

E n t r a = { S a i }

Sabendo que as correntes 1 e 2 são as correntes de entrada e a corrente 3 é a corrente de saída, teremos:

m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 = m ˙ 3 x 3

x 3 = m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 m ˙ 3

Substituindo os valores do enunciado:

x 3 = 500 * 0,4 + 200 * 0,75 700 = 0,5

Passo 2

Primeiramente vamos fazer o modelo para o volume de líquido no tanque. Vamos fazer o balanço de massa geral:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Novamente não temos reação, portanto sem acúmulo e sem geração:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i

d m d t = m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3

Fazendo:

m = ρ V

d ρ V d t = m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3

Como ρ é constante, podemos passar ele dividinfo para o outro lado:

d V d t = 1 ρ ( m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3 )    

Passo 3

Vamos fazer agora o modelo matemático para a composição de saída x 3 . Para isso, devemos considerar que o modelo está em parâmetros concentrados, ou seja, o tanque é perfeitamente misturado e a composição no interior do tanque é igual à composição da saída. Vamos partir da expressão de balanço de massa geral que encontramos no passo anterior:

d m d t = m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3

Agora vamos escrever o balanço de massa por componente:

d m x 3 d t = m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 - m ˙ 3 x 3

Vamos aplicar a regra do produto no termo do acúmulo:

d m x 3 d t = x 3 d m d t + m d x 3 d t

Substituindo no balanço:

x 3 d m d t + m d x 3 d t = m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 - m ˙ 3 x 3

Rearranjando:

d x 3 d t = 1 m m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 - m ˙ 3 x 3 - x 3 d m d t

Como:

d m d t = m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3

Podemos substituir no balanço:

d x 3 d t = 1 m m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 - m ˙ 3 x 3 - x 3 m ˙ 1 - x 3 m ˙ 2 + m ˙ 3 x 3

Vamos cortar que da pra cortar:

d x 3 d t = 1 m m ˙ 1 x 1 + m ˙ 2 x 2 - x 3 m ˙ 1 - x 3 m ˙ 2

Por fim:

d x 3 d t = m ˙ 1 m x 1 - x 3 + m ˙ 2 m ( x 2 - x 3 )

Se você quiser escrever as respostas em termos de volume, é só substituir m por ρ V :

d x 3 d t = m ˙ 1 ρ V x 1 - x 3 + m ˙ 2 ρ V ( x 2 - x 3 )

Resposta

a)

x 3 = 0,5

b)

d V d t = 1 ρ m ˙ 1 + m ˙ 2 - m ˙ 3  

d x 3 d t = m ˙ 1 m x 1 - x 3 + m ˙ 2 m ( x 2 - x 3 )