Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

Encontre a função de transferência H 2 ( s ) / Q 1 ( s )

Sabe-se que:

q 2 ( t ) = h 1 ( t ) R 1

q 3 ( t ) = h 2 ( t ) R 2

Considere ρ constante.

Passo 1

Vamos começar pelo primeiro tanque. O primeiro passo é sempre começar pelo balanço de massa:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + R e a g e - { C o n s u m i d o }

Podemos desconsiderar os dois últimos termos porque não tem reação no tanque e portanto, nada é gerado nem consumido.

A c ú m u l o = E n t r a - { S a i }

O termo de acúmulo a gente sempre representa como a derivada, a corrente m ˙ 1 entra no tanque e as correntes m ˙ 2 e m ˙ 3 saem do tanque:

A c ú m u l o = d m 1 d t = ρ d V 1 d t

E n t r a = m ˙ 1 = ρ q 1 ( t )

S a i = m ˙ 2 = ρ q 2 ( t )

Substituindo tudo no balanço:

ρ d V 1 d t = ρ q 1 ( t ) - ρ q 2 ( t )

Mas:

V 1 = A 1 h 1

E:

q 2 ( t ) = h 1 ( t ) R 1

Substituindo no balanço, e simplificando ρ :

A 1 d h 1 d t = q 1 ( t ) - h 1 ( t ) R 1

Passo 2

Vamos reorganizar a equação e passar tudo que tem h 1 para o lado esquerdo:

A 1 d h 1 ( t ) d t + h 1 ( t ) R 1 = q 1 ( t )

Antes de aplicarmos a transformada de Laplace devemos fazer a inserção das variáveis desvio.

Reescrevendo a equação acima no estado estacionário ( t = 0 )

A 1 d h 1 - d t + h 1 - R 1 = q 1 -

Fazendo a de cima menos a de baixo:

A 1 d [ h 1 t - h 1 - ] d t + h 1 t - h 1 - R 1 = q 1 t - q 1 -

Definindo as variáveis desvio e substituinto na EDO:

H 1 t = h 1 t - h 1 -

Q 1 t = q 1 t - q 1 -

A 1 d H 1 ( t ) d t + H 1 ( t ) R 1 = Q 1 ( t )

Passo 3

Aplicando Laplace:

A 1 s H 1 s + H 1 s R 1 = Q 1 ( s )

Isolando H 1 ( s ) :

A 1 s + 1 R 1 H 1 s = Q 1 ( s )

Por fim:

H 1 s Q 1 s = 1 A 1 s + 1 R 1

Passo 4

Agora devemos fazer o mesmo para o segundo tanque. O desenvolvimento é praticamente igual, sendo assim, vamos pular algumas etapas.

Do balanço de massa:

ρ d V 2 d t = ρ q 2 ( t ) - ρ q 3 ( t )

Substituindo e simplificando ρ :

V 2 = A 2 h 2

q 2 ( t ) = h 1 ( t ) R 1

q 3 ( t ) = h 2 ( t ) R 2

A 2 d h 2 d t = h 1 ( t ) R 1 - h 2 ( t ) R 2

Rearranjando a equação:

A 2 d h 2 d t + h 2 ( t ) R 2 = h 1 ( t ) R 1

Aplicando variáveis desvio:

H 2 t = h 2 t - h 2 -

A 2 d H 2 d t + H 2 ( t ) R 2 = H 1 ( t ) R 1

Aplicando Laplace:

A 2 s H 2 s + H 2 s R 2 = H 1 s R 1

A 2 s + 1 R 2 H 2 s = H 1 s R 1

H 2 s H 1 s = 1 R 1 A 2 s + 1 R 2

Passo 5

O exercício pede a função de transferência H 2 ( s ) / Q 1 ( s ) , entretanto, temos:

H 1 s Q 1 s = 1 A 1 s + 1 R 1

H 2 s H 1 s = 1 R 1 A 2 s + 1 R 2

Ou seja, se multiplicarmos as duas funções de transferências, conseguiremos a resposta que desejamos:

H 1 s Q 1 s   H 2 s H 1 s = 1 A 1 s + 1 R 1 1 R 1 A 2 s + 1 R 2

Logo:

H 2 s Q 1 s = 1 R 1 A 1 s + 1 R 1 A 2 s + 1 R 2

Resposta

H 2 s Q 1 s = 1 R 1 A 1 s + 1 R 1 A 2 s + 1 R 2