Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos

  1. Encontre o momento de inércia I z do sólido no primeiro octante, limitado pelas superfícies z = y , x 2 + y 2 = 1 , z = 0 e x = 0 , sendo a densidade dada por ρ x ,   y ,   z = k z , onde k > 0 é uma constante.

Passo 1

Pow, o momento de inércia em relação a z é uma integral tripla, onde

I z = ∭ W x 2 + y 2 ρ x ,   y ,   z d V

Onde já temos a função de densidade ρ x ,   y ,   z = k z . Mas aí surge uma duvida:

  • Quem é o sólido W que estamos trabalhando?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar aqui respondendo a primeira pergunta!

Bem, se você quer entender o sólido, desenhe, como sempre fazemos, essas superfícies delimitadoras juntas no espaço (primeiro octante), obtendo esse carinha apontado pela flecha aí oh!

Passo 3

Pow! estamos dentro de um cilindro, então nada mais justo que pensarmos na mudança para coordenadas cilíndricas, certo?

Então troquemos...

x = r cos ⁡ θ  

y = r sin ⁡ θ

z = z

O J a c o b i a n o continua o mesmo

J = r

Ah! E sim, uma equação que ajuda muuuuuito é a equação da própria circunferência:

x 2 + y 2 = r 2

Como sempre, só terminamos uma troca depois que verificamos onde cada um desses novos termo ( r ,   θ   e   z ) variam!

Passo 4

No caso, r é bem easy de se encontrar, afinal de contas ele é o cara que está variando da origem até a casca do cilindro vermelho:

0 ≤ r ≤ 1

θ , easy também, pois como ele gira ao redor do eixo z no plano x y , vemos que ele precisa dar um quarto de volta, logo

0 ≤ θ ≤ π 2

Em relação a ultima variável, o z , perceba que ele varia de uma base até um teto:

B a s e ≤ z ≤ T e t o

0 ≤ z ≤ P l a n o   A z u l

como o plano azul é z = y ...

0 ≤ z ≤ y

Sim, estamos em outras coordenadas agora, então

0 ≤ z ≤ r sin ⁡ θ

Passo 5

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   x 2 + y 2 ρ ( x ,   y , z )   d V = ∭ W   x 2 + y 2 k z   d V

Lembre-se de substituir pelas coordenadas cilíndricas e não deixar de multiplicar pelo J a c o b i a n o ;)

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 r sin ⁡ θ r 2 k z   J   d z d r d θ = k ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ∫ 0 r sin ⁡ θ z   r 3   d z d r d θ

k ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3 ∫ 0 r sin ⁡ θ z     d z d r d θ =

k ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3 z 2 2 0 r sin ⁡ θ d r d θ =

k ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 3 r sin ⁡ θ 2 2 d r d θ = k ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 r 5 sin 2 ⁡ θ 2 d r d θ

k 2 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ ∫ 0 1 r 5 d r d θ =

k 2 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ r 6 6 0 1 d θ = k 12 ∫ 0 π 2 sin 2 ⁡ θ d θ =

Para resolver essa última integral aí, lembre-se que podemos trocar sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 ...

k 12 ∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ =

k 12 1 2 θ - 1 2 sin ⁡ ( 2 θ ) 2 0 π 2 = k π 48

Resposta

k π 48

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