Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Sólidos

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1086 – 43

A tendência de um sólido para resistir a uma mudança no movimento rotatório em torno de um eixo é medida por seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se um sólido ocupa uma região G num sistema de coordenadas x y z e se sua função densidade δ ( x , y , z ) for contínua em G , então os momentos de inércia em torno dos eixos x ,   y e z são denotados, respectivamente, por I x ,   I y e I z e são definidos por

I x = ∭ G y 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I y = ∭ G x 2 + z 2 δ x ,   y ,   z d V

I z = ∭ G x 2 + y 2 δ x ,   y ,   z d V

Determine o momento de inércia, I z , para o cilindro sólido x 2 + y 2 ≤ a 2 ,     0 ≤ z ≤ h de densidade δ constante.

Passo 1

Como sabemos, o momento de inércia de um sólido W em relação ao eixo z é dado por:

I z = ∭ W   x 2 + y 2 δ ( x , y , z ) d V

Onde δ ( x , y , z ) é a função densidade. Porém, como o problema diz, a densidade é dada por uma constante δ , logo:

I z = δ ∭ W   x 2 + y 2 d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos descrever o sólido matematicamente, como é um cilindro vamos usar coordenadas cilíndricas,

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ s e n   θ z = z

Os limites de integração são,

0 ≤ z ≤ h

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Por fim, vamos resolver a integral, substituindo para coordenadas cilíndricas d V = r d z d r d θ , logo:

I z = δ ∭ W   r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ r d z d r d θ

Usando a relação fundamental da trigonometria, s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

I z = δ ∭ W   r 2 r d z d r d θ

I z = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h r 2   r d z d r d θ =   δ ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3   h d z d r d θ

I z =   δ ⋅ 2 π ⋅ h ⋅ r 4 4 0 a = δ π h a 4 2

Resposta

I z = δ π h a 4 2

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