Exercícios Resolvidos de Morfologia

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Enunciado

Calcule a circularidade e a esfericidade para um cilindro com altura igual ao dobro do diâmetro da base.

Passo 1

Essa questão é tipo um repeteco da 2, né? Só muda a geometria. Bora dar uma olhada:

O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:

Lembrando a fórmula de circularidade:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser pegar o maior perímetro, maior área projetada da partícula. Olha só:

Essa figura tá em escala, daí, nem precisa fazer conta pra ver que a área da projeção lateral é maior do que a da projeção da base. Então, vamos trabalhar com a projeção lateral da partícula no que diz respeito à área e perímetro.

Para o numerador, vamos ter que:

  1. Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
  2. Igualar essa área à fórmula da área do círculo ( A c í r c u l o = π 4 . d a 2 ) para achar o diâmetro d a desse círculo
  3. Usar esse diâmetro d a para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ( P c í r c u l o = π . d a )

Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.

Já para a esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Para o numerador, a gente calcula o d V e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ). E pro denominador precisamos da área superficial da partícula em si.

Bora lá que fazendo juntos a gente aprende.

Passo 2

Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:

A = D . 2 D = 2 D 2

Igualando essa área com a área do círculo:

A c í r c u l o = π 4 . d a 2

2 D 2 = π 4 . d a 2

d a 2 = 2,55 D 2

d a = 1,60   D

Usando esse diâmetro d a para calcular o perímetro desse círculo:

P c í r c u l o = π . d a

P c í r c u l o = π . 1,60   D

P c í r c u l o = 5,03   D

Agora bora calcular o maior perímetro, P , da partícula, que é o perímetro daquele retângulo vermelho:

P = 2 D + D + 2 D + D = 6 D

E já que temos numerador e denominador, bora calcular a circularidade:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

ϱ = 5,03   D 6   D

ϱ = 0,838

Passo 3

Hora de calcular a esfericidade:

Já vimos lá no passo 1 que vamos precisar calcular o d V e, para isso, vamos precisar do volume da partícula, né?

V p a r t í c u l a = b a s e . a l t u r a

V p a r t í c u l a = π 4 . D 2 . 2 D

V p a r t í c u l a = 1,57   D 3

Igualando V p a r t í c u l a à fórmula do volume da esfera, para achar o d V :

V e s f e r a = π 6 . d V 3

1,57   D 3 = π 6 . d V 3

d V 3 = 3,00   D 3

Aplicando raiz cúbica dos dois lados:

d V = 1,44   D

Agora vamos usar esse d V = 1,44   D para calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ), que vai ser:

A sup ⁡ e s f = π . ( 1,44   D )   2

A sup ⁡ e s f = 6,51   D 2

Agora precisamos da área superficial da nossa partícula, que vai ser:

A s u p = A b a s e + A t o p o + A l a t e r a l

Sendo que:

A b a s e = A t o p o

Daí:

A s u p = 2 . A b a s e + A l a t e r a l

A s u p = 2 . π 4 . D 2 + π . D . 2 D

A s u p = 2,5 π   D 2

A s u p = 7,85   D 2

Agora é só substituir os valores que achamos na fórmula de esfericidade e ser feliz:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Φ = 6,51   D 2 7,85   D 2

Φ = 0,829

Resposta

ϱ = 0,838

Φ = 0,829