Exercícios Resolvidos de Morfologia

Elaboração própria

Calcule a circularidade e a esfericidade de um paralelepípedo retângulo de dimensões proporcionais a 3 x 2 x 1 .

Passo 1

Bora fazer um rascunho da geometria. Eu vou considerar essas dimensões proporcionais a 3 x 2 x 1 como sendo comprimento, altura e largura, mas a ordem não faz diferença na hora de resolver, ok?

O enunciado pede pra gente calcular a circularidade e a esfericidade dessa partícula. Vamos por partes:

Bora, primeiro, lembrar a fórmula de circularidade:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

Esse * é para lembrar que isso é medido na condição de maior estabilidade da partícula, que, na prática, vai ser o maior perímetro da partícula. Daí, vamos ter que pegar o perímetro formado por comprimento e altura ( 3 L e 2 L ).

Para o numerador, vamos ter que:

  1. Calcular a área delimitada por esse retângulo vermelho
  2. Igualar essa área à fórmula da área do círculo ( A c í r c u l o = π 4 . d a 2 ) para achar o diâmetro d a desse círculo
  3. Usar esse diâmetro d para calcular o perímetro desse círculo, que é o comprimento da circunferência ( P c í r c u l o = π . d a )

Depois é só calcular o perímetro desse retângulo vermelho e temos o denominador da circularidade também. Aí é só fazer a divisão entre numerador e denominador.

Já para a esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Para o numerador, a gente calcula o d V e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela circularidade, bora calcular a área projetada na configuração de maior estabilidade da partícula, que é a área daquele retângulo vermelho:

A = 3 L . 2 L = 6 L 2

Igualando essa área com a área do círculo:

A c í r c u l o = π 4 . d a 2

6 L 2 = π 4 . d a 2

d a 2 = 7,64 L 2

d a = 2,76   L

Usando esse diâmetro d a para calcular o perímetro desse círculo:

P c í r c u l o = π . d a

P c í r c u l o = π . 2,76   L

P c í r c u l o = 8,67   L

A parte mais difícil já foi. Agora bora calcular o perímetro, P , da partícula, que é o perímetro daquele retângulo vermelho:

P = 3 L + 2 L + 3 L + 2 L = 10 L

Já temos numerador e denominador, bora calcular essa circularidade:

ϱ = P e r í m e t r o   d o   c í r c u l o   d e   m e s m a   á r e a   p r o j e t a d a   q u e   a   p a r t í c u l a * P e r í m e t r o   d a   p a r t í c u l a *

ϱ = 8,67 L 10 L

ϱ = 0,867

Passo 3

Bora, agora, calcular a esfericidade:

Já vimos lá no passo 1 que vamos precisar calcular o d V e, para isso, vamos precisar do volume da partícula, né?

V p a r t í c u l a = 3 L . 2 L . 1 L = 6 L 3

Igualando V p a r t í c u l a à fórmula do volume da esfera, para achar o d V :

V e s f e r a = π 6 . d V 3

6 L 3 = π 6 * d V 3

d V 3 = 36 π L 3

Aplicando raiz cúbica dos dois lados:

d V = 2,25 L

Agora vamos usar esse d V = 2,25 L para calcular a área superficial dessa esfera equivalente:

A sup ⁡ e s f = π . d V 2

A sup ⁡ e s f = π . ( 2,25 L )   2

A sup ⁡ e s f = 15,9 L 2

Agora precisamos da área superficial da nossa partícula. Repara que vai ser:

A s u p = 2 . 3 L . 2 L + 2 . 2 L . 1 L + 2 . 3 L . 1 L

A s u p = 22 L 2

Agora é só substituir os valores que achamos na fórmula de esfericidade e ser feliz:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Φ = 15,9 L 2 22 L 2

Φ = 0,72

Resposta

ϱ = 0,867

Φ = 0,72

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