Exercícios Resolvidos de Morfologia

Elaboração própria

Calcule a esfericidade de um cubo.

Passo 1

Para não perder o hábito, bora fazer um esboço da geometria. Vou chamar a aresta do cubo de a .

A definição de esfericidade é:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Daí, para o numerador, vamos ter que calcular o diâmetro da esfera de mesmo volume que o cubo ( d V ). E pra isso precisamos do volume do cubo, mas isso é moleza:

V c u b o = a 3

Depois vamos calcular a área superficial dessa esfera e aí temos o numerador, ok?

Para o denominador, vamos precisar da área superficial do cubo:

A superficial ⁡ c u b o = 6 a 2

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Passo 2

Primeiro, bora calcular o d V . Aplicando a definição:

V p a r t í c u l a = a 3 = π 6 . d V 3

Rearranjando:

d V 3 = 6 π . a 3

Aplicando raiz cúbica dos dois lados:

d V = a . 6 π 3

Passo 3

A fórmula para área superficial de uma esfera qualquer é:

A s u p e r f i c i a l   e s f e r a = π . d i â m e t r o 2

Então, a área superficial de uma esfera equivalente ( A s u p   e s f   e q ) de diâmetro d V vale:

A s u p   e s f   e q = π . a . 6 π 3 2

A s u p   e s f   e q = π . a 2 . 6 π 3 2

Passo 4

Já temos, lá do passo 1, a área superficial do cubo ( A superficial ⁡ c u b o = 6 a 2 ). Daí, agora é só jogar tudo na definição de esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Φ c u b o = A s u p   e s f   e q A superficial ⁡ c u b o

Φ c u b o = π . a 2 . 6 π 3 2 6 a 2  

Cortando o a 2 em cima e embaixo e jogando o resto na calculadora:

Φ c u b o = 0,81

Lembrando que eu não me preocupei com unidades aqui porque esfericidade é um adimensional.

Passo 5

Lembra que a gente pode fazer esfericidade como o quadrado da razão entre d V e d s ?

Φ = d V d s 2

Vamos testar isso aqui?

O d V já calculamos:

d V = a . 6 π 3

E o d s do cubo fica assim:

S u p e r f í c i e   d o   c u b o = 6 a 2

S u p e r f í c i e   d a   e s f e r a   e q u i v a l e n t e = π . d s 2

Igualando as duas superfícies:

6 a 2 = π . d s 2

d s = a 6 π

E a esfericidade:

Φ = a . 6 π 3 a 6 π 2

Corta esses a e joga o resto na calculadora:

Φ = 0,81

Resposta

Φ c u b o = 0,81

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