Enunciado

Calcule a esfericidade de uma casca cilíndrica cujas especificações são:

  R a i o   e x t e r n o = R e x t = 5   m

R a i o   i n t e r n o = R i n t = 2,5   m

A l t u r a = H =   4   m

Passo 1

Bora dar uma olhada na geometria: casca cilíndrica é como se você tivesse um cilindro maciço e tirasse um cilindro de dentro dele. Aí ele fica com um buraco cilíndrico no meio dele.

Esse buraco vai de uma ponta até a outra. Aí a vista superior fica assim, olha:

O enunciado pediu a esfericidade ( Φ ):

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Para o numerador, a gente calcula o d V e usa ele pra calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ).

Para o denominador, precisamos da área superficial dessa casca cilíndrica, que é a soma da área lateral externa ( A e x t ), área lateral interna ( A i n t ), anel da base ( A b a s e ) e anel do topo ( A t o p o ).

A s u p = A e x t + A i n t + A b a s e + A t o p o

Passo 2

Precisamos do volume dessa casca cilíndrica:

V = á r e a   d a   b a s e . a l t u r a

Sendo que a área da base ( A b a s e ) é a área de um anel de raio externo R e x t = 5   m e raio interno R i n t = 2,5   m . Daí:

A b a s e = π R e 2 - π R i 2

A b a s e = π . ( R e 2 - R i 2 )

Substituindo os valores:

A b a s e = π . ( 5 2 - 2,5 2 )

A b a s e = 18,75 . π  

Calculando o volume da partícula ( V p a r t í c u l a ):

V p a r t í c u l a = 18,75 . π . 4 = 75 π

Igualando V p a r t í c u l a à fórmula do volume da esfera, para achar o d V :

V e s f e r a = π 6 . d V 3

75 π = π 6 . d V 3

d V 3 = 450

Aplicando raiz cúbica dos dois lados:

d V = 7,66

Agora vamos usar esse d V = 7,66 para calcular a área superficial dessa esfera equivalente ( A sup ⁡ e s f = π . d V 2 ), que vai ser:

A sup ⁡ e s f = π . ( 7,66 )   2

A sup ⁡ e s f = 58,67 . π  

Passo 3

Para o denominador, precisamos da área superficial da partícula, então bora calcular!

A s u p = A e x t + A i n t + A b a s e + A t o p o

Sendo que :

A b a s e = A t o p o

Daí:

A s u p = A e x t + A i n t + 2 . A b a s e

Já calculamos A b a s e = 18,75 . π   . Falta A e x t e A i n t :

A área lateral externa é a área lateral de um cilindro: perímetro da base multiplicada pela altura. Como o perímetro da base é uma circunferência:

A e x t = 2 π r . H

Já que r = R e x t = 5   m e H = 4   m :

A e x t = 2 π 5 . 4

A e x t = 40 π  

A área lateral interna é calculada de forma semelhante, já que a lateral interna também tem forma cilíndrica:

A i n t = 2 π r . H

A altura é a mesma, H =   4   m , mas r = R i n t = 2,5   m :

A i n t = 2 π 2,5 . 4

A i n t = 20 π

Daí:

A s u p = A e x t + A i n t + 2 . A b a s e = 40 π + 20 π + 2 . 18,75 π

A s u p = 97,5 π  

Passo 4

Agora temos tudo pra calcular a esfericidade:

Φ = Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   e s f e r a   d e   m e s m o v o l u m e   q u e   a   p a r t í c u l a Á r e a   s u p e r f i c i a l   d a   p a r t í c u l a

Φ = 58,67 π   97,5 π  

Φ = 0,60

Resposta

Φ = 0,60

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