Exercícios Resolvidos de Movimento Retilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 22, 2/7

A aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo de uma linha reta é dada por a = - k v , onde a é em metros por segundo ao quadrado, k é uma constante, e v é a velocidade em metros por segundo. Determine a velocidade como função tanto do tempo t como da posição s . Avalie suas expressões para t = 2   s e em s = 3   m se k = 0,2   m 1 / 2 s - 3 / 2 e as condições iniciais no instante t = 0 são s 0 = 1   m e v 0 = 7   m / s .

Passo 1

A aceleração é dada por:

a = - k v 1 2

Sendo que:

a = d v d t

Assim:

d v d t = - k v 1 2

d v v 1 2 = - k d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Depois que fizemos a separação das variáveis, precisamos integrar os dois lados da equação obtida.

Para isso, vamos integrar a equação do tempo de t = 0 até t e a equação da velocidade de v 0 até v (afinal de contas, a velocidade em t = 0 pode ser diferente de 0 ) . Assim:

0 t - k d t = v 0 v d v v 1 2

- k t = v 1 2 1 2 v 0 v

- k t = v 1 2 - v 0 1 2 2

v 1 2 = v 0 1 2 - k t 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

v t = v 0 1 2 - k t 2 2

Pelo enunciado, em t = 0 , v = v 0 = 7   m / s .   Além disso, k = 0,2   m 1 2 s - 3 2 :

v t = 7 1 2 - 0,2 t 2 2 = 7 1 2 - 0,1 t 2

Temos que:

v t = 7 1 2 2 - 2 . 0,1 t 7 1 2 + - 0,1 t 2

v t = 7 - 0,2 . 7 1 2 t + 0,01 t 2

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

Passo 3

E a equação da velocidade em função do espaço?

Basta lembrar que:

a = v d v d s

Já que:

a = d v d t

E:

v = d s d t

E:

v d v d s = d s d t d v d s = d v d t = a

Voltando, podemos escrever:

- k v 1 2 = v d v d s

- k d s = v 1 2 d v

Integrando os dois lados:

s 0 s - k d s = v 0 v v 1 2 d v  

- k s - s 0 = 2 3 v 3 2 - v 0 3 2

v 3 2 = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0

v s = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0 2 3

Pelo enunciado, s 0 = 1 m :

v s = 7 3 2 - 3 2 0,2 s - 1 2 3

v s = v 0 3 2 - 0,3 s - 1 2 3

Passo 4

Agora vamos avaliar o valor da velocidade em t = 2   s e s = 3   s :

v t = 0,01 t 2 - 0,529 t + 7

v 2 = 0,01 2 2 - 0,529 2 + 7 = 5,982 m / s

E:

v s = 7 3 2 - 0,3 3 - 1 2 3 = 6,85 m / s

Resposta

v t = v 0 1 2 - k t 2 2

v s = v 0 3 2 - 3 2 k s - s 0 2 3

v 2 = 5,98   m / s

v 3 = 6,85   m / s

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