Exercícios Resolvidos de Movimento Retilíneo

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Enunciado

A velocidade de uma partícula que se desloca ao longo do eixo s é dada por v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 , onde t é em segundos e v é em metros por segundo. Calcule a posição s , a velocidade v , e a aceleração a quando t = 3   s . A partícula está na posição s 0 = 3   m quando t = 0 .

Passo 1

Temos que a equação da velocidade é:

v = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a velocidade da partícula será:

v = 2 - 4 ( 3 ) + 5 ( 3 ) 3 / 2

v = 15,98   m / s

Passo 2

Derivando a equação da velocidade com relação ao tempo vamos obter a equação da aceleração, então:

a = d v d t = - 4 + 15 2 t 1 / 2

Então, no tempo t = 3   s , a aceleração vai ser igual a:

a = - 4 + 15 2 ( 3 ) 1 / 2

a = - 4 + 15 2 3

a = 8,99   m / s 2

Passo 3

Agora vamos calcular a posição, mas para isso temos que lembrar que a derivada da equação da posição com relação ao tempo nos dá a equação da velocidade:

v = d s d t ∴

d s d t = 2 - 4 t + 5 t 3 / 2

Passando o d t para o outro lado do sinal de igual, temos que:

d s = ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

Agora é só integrarmos de ambos os lados:

∫ s 0 = 3 s d s = ∫ 0 t ( 2 - 4 t + 5 t 3 / 2 ) d t

s | s 3 = 2 t - 4 2 t 2 + 2 5 5 t 5 / 2 t 0

s | s 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2 t 0

s - 3 = 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

s = 3 + 2 t - 2 t 2 + 2 t 5 / 2

Então, quando o tempo for de 3   s , a posição da partícula será:

s = 3 + 2 ( 3 ) - 2 ( 3 ) 2 + 2 ( 3 ) 5 / 2

s = 22,2   m

Resposta

s = 22,2   m

v = 15,98   m / s

a = 8,99   m / s 2

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