Exercícios Resolvidos de Movimento Retilíneo

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 26, 2/41

A resistência aerodinâmica ao movimento de um carro é aproximadamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. A resistência adicional ao atrito é constante, de modo que a aceleração do carro quando em ponto morto pode ser escrita a = - C 1 - C 2 v 2 , onde C 1 e C 2 são constantes que dependem da configuração mecânica do carro. Se o carro tem uma velocidade inicial v 0 quando o motor é desengrenado, derive uma expressão para a distância D necessária para o carro mover-se em ponto morto até parar.

Passo 1

Vamos usar:

v d v d s = a

v d v a = d s

Sendo que a = - C 1 + C 2 v 2 :

v d v - C 1 - C 2 v 2 = d s

Vamos integrar de v 0 até v e de s 0 até s :

∫ v 0 v v d v - C 1 - C 2 v 2 = ∫ s 0 s d s

Vamos olhar pra integral da velocidade:

∫ v 0 v v d v - C 1 - C 2 v 2

Vamos usar a substituição de variáveis:

a = - C 1 - C 2 v 2 → d a = - 2 C 2 v d v → v d v = d a - 2 C 2

Assim:

∫ v d v - C 1 - C 2 v 2 = ∫ - d a 2 C 2 a = - 1 2 C 2 ∫ d a a  

- 1 2 C 2 ∫ d a a = - 1 2 C 2 ln ⁡ - C 1 - C 2 v 2 v 0 v

Lembre-se que integral de 1 x é l n ⁡ | x | . Ou seja, por isso que tudo vai ficar positivo:

- 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 v 0 v = - 1 2 C 2 ( ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 - ln ⁡ ( C 1 + C 2 v 0 2 ) )

- 1 2 C 2 ( ln ⁡ C 1 + C 2 v 2 - ln ⁡ ( C 1 + C 2 v 0 2 ) ) = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2

Assim:

1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2 = ∫ s 0 s d s

1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 v 2 = S - S 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado nos diz qual é a distância que o carro percorre até parar. Sendo assim, teremos que usar v = 0 , ou seja, a velocidade final igual a 0 .

No caso, a distância S - S 0 = D , que á distância percorrida:

S - S 0 = D = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 + C 2 0 2 = 1 2 C 2 ln ⁡ C 1 + C 2 v 0 2 C 1 = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

Então:

D = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

Resposta

D = 1 2 C 2 ln ⁡ 1 + C 2 C 1 v 0 2

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